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#define int long long #define itn long long constexpr int oo 105; constexpr int mod998244353; int n,m; itn siz[oo],f[oo][oo][oo],g[oo][oo]; int c[oo1],ic[oo1]; struct nod{int to[oo1],nxt[oo1],head[oo],tot; __inline void adde(int u,int v){to[tot]v,nxt[tot]head[u],head[u]tot;}}S; __inline int qpow(int x,int y){int ans1;while (y){if(y1)ansans*x%mod;y1;xx*x%mod;}return ans;} __inline void dfs(int u,int fa){siz[u]1,f[u][1][0]1;for (int iS.head[u];i;iS.nxt[i]){int vS.to[i];if (vfa) continue;dfs(v,u);for (int jsiz[u]siz[v];j0;j–)for (int ksiz[u]siz[v];k0;k–)g[j][k]f[u][j][k],f[u][j][k]0;for (int jsiz[u];j1;j–)for (int ksiz[u]-j;k0;k–){f[u][j]k1%mod;for (int psiz[v];p1;p–)for (int qsiz[v]-p;q0;q–){f[u][jp]kq%mod;} }siz[u]siz[v];} } main(void){//fre();cin.tie(0)-sync_withstdio(0);c[0]ic[0]1;for (int i1;i200;i) c[i]c[i-1]i%mod;ic[200]qpow(c[200],mod-2);for (int i200-1;i1;i–) ic[i]ic[i1](i1)%mod;cin n m ;for (int u,v,i1;in;i){cin u v;S.adde(u,v),S.adde(v,u);}dfs(1,0);int ans0;for (int u1;un;u){for (int im1;isiz[u];i){for (int j0;jsiz[u]-i;j)ans(ansf[u][i][j]*c[i]%mod*c[j(u!1)]%mod*ic[ij(u!1)]%mod)%mod;//,coutu i j f[u][i][j]\n;}}cout ans \n;exit(0); }我们考虑既然是计算概率 那么对于一棵树我们不妨将其转化为一个序列来考虑 我们假设一个序列s我们从这个序列中选出n个点假设已经从s中选出了x个点那么又有n-x个点在剩余的序列中选择 其中椭圆为要去除的点 红色部分为去除的 那么后面的部分有n-x个点可以被选择后半部分共k个点 那么我们将k自由组合排序考虑第一个被选择的点 这些点的选择概率都是 1 n − x \frac{1}{n-x} n−x1​,所以我们考虑组合意义共 ( n − x ) ! ( k − n x ) ! k ! \frac{(n-x)!(k-nx)!}{k!} k!(n−x)!(k−nx)!​种可能 通过这种转化我们将求解概率变为了计数问题 那么我们应该考虑如何取出点了 对于一个子树T|T|k,对于这个子树我们一定可以对这一棵子树进行操作 那么我们就可以统计子树大小大于k的个数 那么他的贡献就是T出现的概率我们设T出现的概率是 p ( T ) p(T) p(T),那么答案的总期望就是 ∑ s i z e T k p ( T ) \sum{size_Tk}p(T) ∑sizeT​k​p(T) 关于这个统计使用树形DP求解总数即可 设 f [ x ] [ i ] [ j ] f[x][i][j] f[x][i][j]为为 x x x子树中选了包含 x x x 在内的 i i i 个点有 j j j 个点与之相连的方案数使用背包转移即可 P3974 [TJOI2015] 组合数学 [TJOI2015] 组合数学 题目描述 为了提高智商ZJY 开始学习组合数学。某一天她解决了这样一个问题给一个网格图其中某些格子有财宝。每次从左上角出发只能往右或下走。问至少要走几次才可能把财宝全捡完。 但是她还不知足想到了这个问题的一个变形假设每个格子中有好多块财宝而每一次经过一个格子至多只能捡走一块财宝其他条件不变至少要走几次才可能把财宝全捡完 这次她不会做了你能帮帮她吗 输入格式 第一行为一个正整数 t t t表示数据组数。 每组数据的第一行是两个正整数 n n n 和 m m m表示这个网格图有 n n n 行 m m m 列。 接下来 n n n 行每行 m m m 个非负整数表示这个格子中的财宝数量 0 0 0 表示没有财宝。 输出格式 对于每组数据输出一个整数表示至少走的次数。 样例 #1 样例输入 #1 1 3 3 0 1 5 5 0 0 1 0 0样例输出 #1 10提示 数据范围 对于 30 % 30\% 30% 的数据 n ≤ 5 n \le 5 n≤5 m ≤ 5 m \le 5 m≤5每个格子中的财宝数不超过 5 5 5 块。 对于 50 % 50\% 50% 的数据 n ≤ 100 n \le 100 n≤100 m ≤ 100 m \le 100 m≤100每个格子中的财宝数不超过 1000 1000 1000 块。 对于 100 % 100\% 100% 的数据 1 ≤ t ≤ 2 1\le t\le 2 1≤t≤2 1 ≤ n ≤ 1000 1\le n \le 1000 1≤n≤1000 1 ≤ m ≤ 1000 1\le m \le 1000 1≤m≤1000每个格子中的财宝不超过 1 0 6 10^6 106 块。 //2024.8.12 //by white_ice //[TJOI2015] 组合数学 | P3974 #includebits/stdc.h //#includeneed.cpp using namespace std; #define itn long long #define int long long constexpr int oo 1003; itn n,m;itn st[oo][oo]; int f[oo][oo]; main(void){//fre();cin.tie(0)-sync_with_stdio(0);itn t;cin t; while (t–){memset(f,0,sizeof(f));cin n m;for (itn i1;in;i)for (int j1;jm;j)cin st[i][j];for (itn i1;in;i)for (itn jm;j1;j–){f[i][j] max(f[i-1][j],f[i][j1]);f[i][j] max(f[i-1][j1]st[i][j],f[i][j]);}cout f[n][1] \n; }cout flush;exit (0); }我们使用使用使用了一段及其短小精悍的代码解决了这道题 这道题就要使用我们上面提到的最小链覆盖最长反链长度了 我们不难发现对于这个网格图在上面移动就是构造一个链的过程 从一个方格出发可以向下或向右移动 左右我们就是要求解从第一行第一列出发移动到最后一列最后一行的最长链长度 这是我们就可以搬出这个Dilworth 定理 最小链覆盖 最长反链长度 那么我们求解最长反链长度就好啦 我们如何求解呢对于一个格子什么地方不能成链呢 当然是x,y坐标一个大于该格子一个小于该格子的时候啦