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建设教育协会培训网站,番禺网站建设系统,家装设计师需要考证吗,wordpress做表格插件文章目录不定积分概念几何意义性质不定积分的基本公式三种主要积分法三类常见可积函数积分定积分概念几何意义性质积分上限的函数定积分的计算几何应用反常积分无穷区间的反常积分无界函数的反常积分不定积分 不定积分是导数的逆运算。 概念 原函数#xff1a;设f(x)f(x)f(… 文章目录不定积分概念几何意义性质不定积分的基本公式三种主要积分法三类常见可积函数积分定积分概念几何意义性质积分上限的函数定积分的计算几何应用反常积分无穷区间的反常积分无界函数的反常积分不定积分 不定积分是导数的逆运算。 概念 原函数设f(x)f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)(a,b)内有定义若存在函数F(x)F(x)F(x)使其在该区间内任何一点都有F′(x)f(x)F(x)f(x)F′(x)f(x)则称F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)在该区间内的原函数。若F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)在某区间内的原函数则F(x)CF(x)CF(x)C也为f(x)f(x)f(x)在该区间内的原函数。若F(x),G(x)F(x),G(x)F(x),G(x)为f(x)f(x)f(x)在某区间内的原函数则F(x)−G(x)CF(x)-G(x)CF(x)−G(x)C。不定积分f(x)f(x)f(x)的全体原函数称为f(x)f(x)f(x)的不定积分记为∫f(x)dx\int f(x)dx∫f(x)dx如果F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)的一个原函数则有∫f(x)dxF(x)C\int f(x)dxF(x)C∫f(x)dxF(x)C。原函数存在定理若f(x)f(x)f(x)在区间III上连续则f(x)f(x)f(x)在区间III上一定存在原函数若f(x)f(x)f(x)在区间III上有第一类间断点则f(x)f(x)f(x)在区间III上没有原函数。 几何意义 设F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)的一个原函数则从几何上看F(x)F(x)F(x)表示平面上的一条曲线称为f(x)f(x)f(x)的积分曲线因此不定积分∫f(x)dxF(x)C\int f(x)dxF(x)C∫f(x)dxF(x)C在几何上表示一簇积分曲线这簇积分曲线对于横坐标xxx处的切线都相互平行。 性质 (∫f(x)dx)′f(x)(\int f(x)dx)f(x)(∫f(x)dx)′f(x)d(∫f(x)dx)f(x)dxd(\int f(x)dx)f(x)dxd(∫f(x)dx)f(x)dx∫f′(x)dxf(x)C\int f(x)dxf(x)C∫f′(x)dxf(x)C∫df(x)f(x)C\int df(x)f(x)C∫df(x)f(x)C∫[f(x)±g(x)]dx∫f(x)dx±∫g(x)dx\int [f(x)\pm g(x)]dx\int f(x)dx\pm \int g(x)dx∫[f(x)±g(x)]dx∫f(x)dx±∫g(x)dx∫kf(x)dxk∫f(x)dx(k为常数)\int kf(x)dxk\int f(x)dx(k为常数)∫kf(x)dxk∫f(x)dx(k为常数) 不定积分的基本公式 ∫0dxC\int 0dxC∫0dxC∫xadx1a1xa1C(a≠−1)\int x^adx\frac{1}{a1}x^{a1}C(a≠-1)∫xadxa11​xa1C(a−1)∫1xdxln∣x∣C\int \frac{1}{x}dxln|x|C∫x1​dxln∣x∣C∫axdxaxlnaC(a0,a≠1)\int a^xdx\frac{a^x}{lna}C(a0,a≠1)∫axdxlnaax​C(a0,a1)∫exdxexC\int e^xdxe^xC∫exdxexC∫sinxdx−cosxC\int sinxdx-cosxC∫sinxdx−cosxC∫conxdxsinxC\int conxdxsinxC∫conxdxsinxC∫sec2xdxtanxC\int sec^2xdxtanxC∫sec2xdxtanxC∫scswxdx−cotxC\int scs^wxdx-cotxC∫scswxdx−cotxC∫secxtanxdxsecxC\int secxtanxdxsecxC∫secxtanxdxsecxC∫cscxcotxdx−cscxC\int cscxcotxdx-cscxC∫cscxcotxdx−cscxC∫11x2dxarctanxC\int \frac{1}{1x^2}dxarctanxC∫1x21​dxarctanxC∫11−x2dxarcsinxC\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dxarcsinxC∫1−x2​1​dxarcsinxC∫1a2−x2dxarcsinxaC\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dxarcsin\frac{x}{a}C∫a2−x2​1​dxarcsinax​C∫1a2x2dx1aarctanxaC\int \frac{1}{a^2x^2}dx\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}C∫a2x21​dxa1​arctanax​C∫1x2−a2dx12aln∣x−axa∣C\int \frac{1}{x^2-a^2}dx\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{xa}|C∫x2−a21​dx2a1​ln∣xax−a​∣C∫1a2x2dxln(xx2a2)C\int \frac{1}{\sqrt{a^2x^2}}dxln(x\sqrt{x^2a^2})C∫a2x2​1​dxln(xx2a2​)C∫1a2−x2dxln(xx2−a2)C\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dxln(x\sqrt{x^2-a^2})C∫a2−x2​1​dxln(xx2−a2​)C∫secxdxln∣secxtanx∣C\int secxdxln|secxtanx|C∫secxdxln∣secxtanx∣C∫cscxdx−ln∣cscxcotx∣C\int cscxdx-ln|cscxcotx|C∫cscxdx−ln∣cscxcotx∣C 三种主要积分法 第一类换元积分法设∫f(u)duF(u)C,uφ(x)\int f(u)duF(u)C,u\varphi(x)∫f(u)duF(u)C,uφ(x)存在连续导数则∫f[φ(x)]dφ(x)F(φ(x))C\int f[\varphi(x)]d\varphi(x)F(\varphi(x))C∫f[φ(x)]dφ(x)F(φ(x))C。常见的凑微分形式如下 ∫f(axb)dx1a∫f(axb)d(axb)\int f(axb)dx\frac{1}{a}\int f(axb)d(axb)∫f(axb)dxa1​∫f(axb)d(axb)∫xmf(axmb)dx1(m1)a∫f(axm1b)d(axm1b)(m≠1)\int x^mf(ax^mb)dx\frac{1}{(m1)a}\int f(ax^{m1}b)d(ax^{m1}b)(m≠1)∫xmf(axmb)dx(m1)a1​∫f(axm1b)d(axm1b)(m1)∫f(x)dxx2∫f(x)dx\int f(\sqrt x)\frac{dx}{\sqrt x}2\int f(\sqrt x)d\sqrt x∫f(x​)x​dx​2∫f(x​)dx​∫f(ex)exdx∫f(ex)d(ex)\int f(e^x)e^xdx\int f(e^x)d(e^x)∫f(ex)exdx∫f(ex)d(ex)∫f(lnx)1xdx∫f(lnx)d(lnx)\int f(lnx)\frac{1}{x}dx\int f(lnx)d(lnx)∫f(lnx)x1​dx∫f(lnx)d(lnx)∫f(sinx)cosxdx∫f(sinx)d(sinx)\int f(sinx)cosxdx\int f(sinx)d(sinx)∫f(sinx)cosxdx∫f(sinx)d(sinx)∫f(cosx)sinxdx−∫f(cosx)d(cosx)\int f(cosx)sinxdx-\int f(cosx)d(cosx)∫f(cosx)sinxdx−∫f(cosx)d(cosx)∫f(tanx)1cos2xdx∫f(tanx)d(tanx)\int f(tanx)\frac{1}{cos^2x}dx\int f(tanx)d(tanx)∫f(tanx)cos2x1​dx∫f(tanx)d(tanx)∫f(arcsinx)11−x2dx∫f(arcsinx)d(arcsinx)\int f(arcsinx)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\int f(arcsinx)d(arcsinx)∫f(arcsinx)1−x2​1​dx∫f(arcsinx)d(arcsinx)∫f(arctanx)11x2dx∫f(arctanx)d(arctanx)\int f(arctanx)\frac{1}{1x^2}dx\int f(arctanx)d(arctanx)∫f(arctanx)1x21​dx∫f(arctanx)d(arctanx) 第二类换元积分法设xφ(x)x\varphi(x)xφ(x)是单调的、可导的函数并且φ′(t)≠0\varphi(t)≠0φ′(t)0又∫f[φ(x)]φ′(t)dtF(t)C\int f[\varphi(x)]\varphi(t)dtF(t)C∫f[φ(x)]φ′(t)dtF(t)C则∫f(x)dx∫f[φ(t)]φ′(t)dtF(t)CF[φ−1(x)]C\int f(x)dx\int f[\varphi(t)]\varphi(t)dtF(t)CF[\varphi^{-1}(x)]C∫f(x)dx∫f[φ(t)]φ′(t)dtF(t)CF[φ−1(x)]C其中φ−1(x)\varphi^{-1}(x)φ−1(x)是xφ(t)x\varphi(t)xφ(t)的反函数。常见的三种变量代换如下 被积函数含有a2−x2\sqrt{a^2-x^2}a2−x2​令xasint(或acost)xasint(或acost)xasint(或acost)被积函数含有a2x2\sqrt{a^2x^2}a2x2​令xatantxatantxatant被积函数含有x2−a2\sqrt{x^2-a^2}x2−a2​令xasectxasectxasect 分步积分法∫udvuv−∫vdu\int udvuv-\int vdu∫udvuv−∫vdu。 何时用出现两类函数相乘时使用。如何用 ∫Pn(x)eaxdx\int P_n(x)e^{ax}dx∫Pn​(x)eaxdx、∫Pn(x)sinaxdx\int P_n(x)sinaxdx∫Pn​(x)sinaxdx、∫Pn(x)cosaxdx\int P_n(x)cosaxdx∫Pn​(x)cosaxdx将多项式以外凑进去。∫Pn(x)lnxdx\int P_n(x)lnxdx∫Pn​(x)lnxdx、∫Pn(x)arctanxdx\int P_n(x)arctanxdx∫Pn​(x)arctanxdx、∫Pn(x)arcsinxdx\int P_n(x)arcsinxdx∫Pn​(x)arcsinxdx将多项式凑近去。∫eaxsinβxdx\int e^{ax}sin\beta xdx∫eaxsinβxdx、∫eaxcosβxdx\int e^{ax}cos\beta xdx∫eaxcosβxdx凑谁都可以。
三类常见可积函数积分 有理函数的积分R(x)R(x)R(x)由xxx加减乘除得到∫R(x)dx\int R(x)dx∫R(x)dx 一般法部分分式法特殊方法加项减项拆或凑微分降幂 三角有理式积分R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)R(sinx,cosx)由sinxsinxsinx和cosxcosxcosx加减乘除得到∫R(sinx,cosx)dx\int R(sinx,cosx)dx∫R(sinx,cosx)dx 一般方法万能代换令tanx2ttan\frac{x}{2}ttan2x​t∫R(sinx,cosx)dx∫R(2t1t2,1−t21t2)21t2dt\int R(sinx,cosx)dx\int R(\frac{2t}{1t^2},\frac{1-t^2}{1t^2})\frac{2}{1t^2}dt∫R(sinx,cosx)dx∫R(1t22t​,1t21−t2​)1t22​dt特殊方法三角变形、换元、分部 若R(−sinx,cosx)−R(sinx,cosx)R(-sinx,cosx)-R(sinx,cosx)R(−sinx,cosx)−R(sinx,cosx)则令ucosxucosxucosx若R(sinx,−cosx)−R(sinx,cosx)R(sinx,-cosx)-R(sinx,cosx)R(sinx,−cosx)−R(sinx,cosx)则令usinxusinxusinx若R(−sinx,−cosx)R(sinx,cosx)R(-sinx,-cosx)R(sinx,cosx)R(−sinx,−cosx)R(sinx,cosx)则令utanxutanxutanx 简单无理函数的积分开多少次方都可以但里边必须是一次式比∫R(x,axbcxd)dx\int R(x,\sqrt\frac{axb}{cxd})dx∫R(x,cxdaxb​​)dx 一般方法令axbcxdt\sqrt\frac{axb}{cxd}tcxdaxb​​t。
定积分 概念 设函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上有定义且有界 分割在区间[a,b][a,b][a,b]中任意插入n−1n-1n−1个分点ax0x1x2…xn−1xnbax_0x_1x2…x{n-1}xnbax0​x1​x2​…xn−1​xn​b将区间[a,b][a,b][a,b]分成nnn个小区间[xi−1,xi],i1,2,…,n[x{i-1},x_i],i1,2,…,n[xi−1​,xi​],i1,2,…,n记Δxixi−xi−1\Delta x_ixi-x{i-1}Δxi​xi​−xi−1​表示第iii个小区间的长度。求和在[xi−1,xi][x_{i-1},xi][xi−1​,xi​]取一点ξ\xiξ作和式∑i1nf(ξi)Δxi\sum^n{i1}f(\xi_i)\Delta x_i∑i1n​f(ξi​)Δxi​记λmax[Δx1,Δx2,…Δxn]\lambdamax[\Delta x_1,\Delta x_2,…\Delta xn]λmax[Δx1​,Δx2​,…Δxn​]。取极限若极限lim⁡λ→0∑i1nf(ξi)Δxi\lim\limits{\lambda \to 0}\sum_{i1}^nf(\xi_i)\Delta x_iλ→0lim​∑i1n​f(ξi​)Δxi​存在且此极限不依赖于区间[a,b][a,b][a,b]的分法也不依赖于点ξi\xi_iξi​的取法则称f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上可积并称此极限为f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的定积分记为∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx即∫abf(x)dxlim⁡λ→0∑i1nf(ξi)Δxi\inta^bf(x)dx\lim\limits{\lambda\to 0}\sum_{i1}^nf(\xi_i)\Delta x_i∫ab​f(x)dxλ→0lim​∑i1n​f(ξi​)Δxi​。 定积分存在的充分条件 若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx必定存在。若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有界且只有有限个间断点则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx必定存在。若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上只有有限个第一类间断点则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx必定存在。 几何意义 设∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx存在若在[a,b][a,b][a,b]上f(x)≥0f(x)≥0f(x)≥0则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx的值等于以曲线tf(x),xa,xbtf(x),xa,xbtf(x),xa,xb及xxx轴所围成的曲边梯形的面积。若在[a,b][a,b][a,b]上f(x)≤0f(x)≤0f(x)≤0则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx的值等于以曲线yf(x),xa,xbyf(x),xa,xbyf(x),xa,xb及xxx轴所围成的曲边梯形面积的负值。若在[a,b][a,b][a,b]上f(x)f(x)f(x)的值有正也有负则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx的值等于xxx轴上方的面积减去xxx轴下方的面积所得之差。 性质 不等式性质 若在区间[a,b][a,b][a,b]上f(x)≤g(x)f(x)≤g(x)f(x)≤g(x)且ababab则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^bf(x)dx≤\int_a^bg(x)dx∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx。若MMM及mmm分别是f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的最大值和最小值则m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)m(b-a)≤\int_a^bf(x)dx≤M(b-a)m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)。∣∫abf(x)dx∣≤∫ab∣f(x)∣dx|\int_a^bf(x)dx|≤\int_a^b|f(x)|dx∣∫ab​f(x)dx∣≤∫ab​∣f(x)∣dx。 中值定理 若f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续则∫abf(x)dxf(ξ)(b−a)(aξb)\int_a^bf(x)dxf(\xi)(b-a)(a\xib)∫ab​f(x)dxf(ξ)(b−a)(aξb)。常称1b−a∫abf(x)dx\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dxb−a1​∫ab​f(x)dx为函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的平均值。若f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续g(x)g(x)g(x)不变号则∫abf(x)g(x)dxf(ξ)∫abg(x)dx(a≤ξ≤b)\int_a^bf(x)g(x)dxf(\xi)\int_a^bg(x)dx(a≤\xi≤b)∫ab​f(x)g(x)dxf(ξ)∫ab​g(x)dx(a≤ξ≤b)。 积分上限的函数 变上限的积分∫axf(t)dt\int_a^xf(t)dt∫ax​f(t)dt是其上限xxx的函数常称之为积分上限函数。 如果f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续则Φ(x)∫axf(t)dt\Phi(x)\int_a^xf(t)dtΦ(x)∫ax​f(t)dt在[a,b][a,b][a,b]上可导且(Φ(x))′f(x)(\Phi(x))f(x)(Φ(x))′f(x)。如果f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续且φ1(x),φ2(x)\varphi_1(x),\varphi2(x)φ1​(x),φ2​(x)为可导函数则(∫φ1(x)φ2(x))′f[φ2(x)]×φ2′(x)−f[φ1(x)]×φ1′(x)(\int{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)})f[\varphi_2(x)]\times\varphi_2(x)-f[\varphi_1(x)]\times\varphi_1(x)(∫φ1​(x)φ2​(x)​)′f[φ2​(x)]×φ2′​(x)−f[φ1​(x)]×φ1′​(x)。如果f(x)f(x)f(x)在[−l,l][-l,l][−l,l]上连续则如果f(x)f(x)f(x)为奇函数那么∫0xf(t)dt\int_0^xf(t)dt∫0x​f(t)dt为奇函数如果f(x)f(x)f(x)为偶函数那么∫0xf(t)dt\int_0^xf(t)dt∫0x​f(t)dt为偶函数。 定积分的计算 莱布尼茨公式设f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上连续F(x)F(x)F(x)为f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上的一个原函数则有∫abf(x)dxF(x)∣abF(b)−F(a)\int_a^bf(x)dxF(x)|a^bF(b)-F(a)∫ab​f(x)dxF(x)∣ab​F(b)−F(a)。 换元积分法设f(x)f(x)f(x)在区间III上连续函数xφ(t)x\varphi(t)xφ(t)满足下列条件φ(α)a,φ(β)b\varphi(\alpha)a,\varphi(\beta)bφ(α)a,φ(β)b φ(t)\varphi(t)φ(t)在α,β\alpha,\betaα,β上有连续导数且RφIR\varphi IRφ​I则∫abf(x)dx∫αβf(φ(t))φ′(t)dt\inta^bf(x)dx\int{\alpha}^{\beta}f(\varphi (t)) \varphi (t)dt∫ab​f(x)dx∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt。 分步积分法∫baudvuv∣ba−∫bavdu\int_b^audvuv|_b^a-\intb^avdu∫ba​udvuv∣ba​−∫ba​vdu。 利用奇偶性和周期性 设函数f(x)f(x)f(x)为[−a,a][-a,a][−a,a]上的连续函数a0则∫−aaf(x)dx{0,f(x)为奇函数时2∫0af(x)dx,f(x)为偶函数时\int{-a}^af(x)dx \begin{cases} 0,f(x)为奇函数时\ 2\int_0^af(x)dx,f(x)为偶函数时\ \end{cases}∫−aa​f(x)dx{0,f(x)为奇函数时2∫0a​f(x)dx,f(x)为偶函数时​设f(x)f(x)f(x)是以TTT为周期的连续函数则对任意给数aaa总有∫aaTf(x)dx∫0Tf(x)dx\int_a^{aT}f(x)dx\int_0^Tf(x)dx∫aaT​f(x)dx∫0T​f(x)dx。 利用已知公式: ∫0π2sinnxdx∫0π2cosnxdx{n−1n×n−3n−2×…×12×π2,n为正偶数n−1n×n−3n−2×…×23,n为大于1的奇数\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx\int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx\begin{cases} \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times…\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2},n为正偶数\\frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times…\times\frac{2}{3},n为大于1的奇数\end{cases}∫02π​​sinnxdx∫02π​​cosnxdx{nn−1​×n−2n−3​×…×21​×2π​,n为正偶数nn−1​×n−2n−3​×…×32​,n为大于1的奇数​∫0πxf(sinx)dxπ2∫0πf(sinx)dx,其中f(x)连续\int_0^\pi xf(sinx)dx\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx,其中f(x)连续∫0π​xf(sinx)dx2π​∫0π​f(sinx)dx,其中f(x)连续
几何应用 平面曲线的面积 若平面域DDD由曲线yf(x),yg(x)(f(x)≥g(x)),xa,xb(ab)yf(x),yg(x)(f(x)≥g(x)),xa,xb(ab)yf(x),yg(x)(f(x)≥g(x)),xa,xb(ab)所围成则平面区域DDD的面积为S∫ab[f(x)−g(x)]dxS\inta^b[f(x)-g(x)]dxS∫ab​[f(x)−g(x)]dx。若平面域DDD由曲线rr(θ),θα,θβ(αβ)rr(\theta),\theta\alpha,\theta\beta(\alpha\beta)rr(θ),θα,θβ(αβ)所围成则其面积为S12∫αβr2(θ)dθS\frac{1}{2}\int{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)d\thetaS21​∫αβ​r2(θ)dθ。 旋转体体积若区域DDD由曲线yf(x)(f(x)≥0)yf(x)(f(x)≥0)yf(x)(f(x)≥0)和直线xa,xb(0≤ab)xa,xb(0≤ab)xa,xb(0≤ab)及xxx轴所围成则 区域DDD绕xxx轴旋转一周所得到的旋转体的体积为Vxπ∫abf2(x)dxV_x\pi\int_a^bf^2(x)dxVx​π∫ab​f2(x)dx。区域DDD绕yyy轴旋转一周所得到的旋转体的体积为Vy2π∫abxf(x)dxV_y2\pi\int_a^bxf(x)dxVy​2π∫ab​xf(x)dx。 曲线弧长 C:yy(x),a≤x≤b,s∫ab1y′2dxC:yy(x),a≤x≤b,s\int_a^b\sqrt{1y^2}dxC:yy(x),a≤x≤b,s∫ab​1y′2​dx。C:{xx(t),yy(t),a≤t≤b,s∫abx′2y′2dtC:\begin{cases}xx(t),\yy(t),\end{cases}a≤t≤b,s\int_a^b\sqrt{x^2y^2}dtC:{xx(t),yy(t),​a≤t≤b,s∫ab​x′2y′2​dt。C:rr(θ),a≤θ≤b,s∫abr2r′2dθC:rr(\theta),a≤\theta≤b,s\int_a^b\sqrt{r^2r^2}d\thetaC:rr(θ),a≤θ≤b,s∫ab​r2r′2​dθ。 旋转体侧面积曲线yf(x)(f(x)≥0)yf(x)(f(x)≥0)yf(x)(f(x)≥0)和直线xa,xb(0≤ab)xa,xb(0≤ab)xa,xb(0≤ab)及xxx轴所围成区域绕xxx轴旋转所得旋转体的侧面积为S2π∫abf(x)1f′2(x)dxS2\pi\inta^bf(x)\sqrt{1f^2(x)}dxS2π∫ab​f(x)1f′2(x)​dx。 反常积分 无穷区间的反常积分 设f(x)f(x)f(x)为[a,∞)[a,\infty)[a,∞)上的连续函数如果极限lim⁡t→∞∫atf(x)dx\lim\limits_{t\to\infty}\int_a^tf(x)dxt→∞lim​∫at​f(x)dx存在则称此极限为函数f(x)f(x)f(x)在无穷区间[a,∞)[a,\infty)[a,∞)上的反常积分记作∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx即∫a∞f(x)dxlim⁡t→∞∫atf(x)dx\inta^{\infty}f(x)dx\lim\limits{t\to\infty}\int_a^tf(x)dx∫a∞​f(x)dxt→∞lim​∫at​f(x)dx。这时也称反常积分∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx收敛如果上述极限不存在则称反常积分∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx发散。设f(x)f(x)f(x)为(−∞,b](-\infty,b](−∞,b]上的连续函数则可类似的定义函数f(x)f(x)f(x)在无穷区间(−∞,b](-\infty,b](−∞,b]上的反常积分∫−∞0f(x)dxlim⁡t→−∞∫tbf(x)dx\int{-\infty}^0f(x)dx\lim\limits_{t\to -\infty}\intt^bf(x)dx∫−∞0​f(x)dxt→−∞lim​∫tb​f(x)dx。设f(x)f(x)f(x)为(−∞,∞)(-\infty,\infty)(−∞,∞)上的连续函数如果反常积分∫−∞0f(x)dx\int{-\infty}^0f(x)dx∫−∞0​f(x)dx和∫0∞f(x)dx\int{0}^{\infty}f(x)dx∫0∞​f(x)dx都收敛则称反常积分∫−∞∞f(x)dx\int{-\infty}^{\infty}f(x)dx∫−∞∞​f(x)dx收敛且∫−∞∞f(x)dx∫−∞0f(x)dx∫0∞f(x)dx\int{-\infty}^{\infty}f(x)dx\int{-\infty}^0f(x)dx\int{0}^{\infty}f(x)dx∫−∞∞​f(x)dx∫−∞0​f(x)dx∫0∞​f(x)dx如果∫−∞0f(x)dx\int{-\infty}^0f(x)dx∫−∞0​f(x)dx和∫0∞f(x)dx\int{0}^{\infty}f(x)dx∫0∞​f(x)dx至少有一个发散则称∫−∞∞f(x)dx\int{-\infty}^{\infty}f(x)dx∫−∞∞​f(x)dx发散。 比较判别法设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在[a,∞)[a,\infty)[a,∞)上连续且0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x)0≤f(x)≤g(x)则 当∫a∞g(x)dx\int_a^{\infty}g(x)dx∫a∞​g(x)dx收敛时∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx收敛。当∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx收敛时∫a∞g(x)dx\inta^{\infty}g(x)dx∫a∞​g(x)dx收敛。 比较判别法的极限形式设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在(a,∞](a,\infty](a,∞]上非负连续且lim⁡x→∞f(x)g(x)λ\lim\limits{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\lambdax→∞lim​g(x)f(x)​λ有限或无穷则 当λ≠0\lambda≠0λ0时∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty} f(x)dx∫a∞​f(x)dx与∫a∞g(x)dx\int_a^{\infty}g(x)dx∫a∞​g(x)dx同敛散。当λ0\lambda0λ0时若∫a∞g(x)dx\int_a^{\infty}g(x)dx∫a∞​g(x)dx收敛则∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx也收敛。当λ∞\lambda\inftyλ∞时若∫a∞g(x)dx\int_a^{\infty}g(x)dx∫a∞​g(x)dx发散则∫a∞f(x)dx\int_a^{\infty}f(x)dx∫a∞​f(x)dx也发散。 常用结论∫a∞1xpdx{p1,收敛p≤1,发散(a0)\inta^{\infty}\frac{1}{x^p}dx\begin{cases}p1,收敛\p≤1,发散\end{cases}(a0)∫a∞​xp1​dx{p1,收敛p≤1,发散​(a0) 无界函数的反常积分 如果函数f(x)f(x)f(x)在点aaa 的任何一邻域内都无界那么点aaa称为f(x)f(x)f(x)的瑕点也称为无界点无界函数的反常积分也成为瑕积分。 设函数f(x)f(x)f(x)在(a,b](a,b](a,b]上连续点aaa为f(x)f(x)f(x)的瑕点如果极限lim⁡t→a∫tbf(x)dx\lim\limits{t\to a^}\int_t^bf(x)dxt→alim​∫tb​f(x)dx存在则称此极限为函数f(x)f(x)f(x)在区间[a,b][a,b][a,b]上的反常积分记作∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx即∫abf(x)dxlim⁡t→a∫tbf(x)dx\inta^bf(x)dx\lim\limits{t\to a^}\int_t^bf(x)dx∫ab​f(x)dxt→alim​∫tb​f(x)dx。这时也称反常积分∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx收敛如果上述极限不存在则称反常积分∫abf(x)dx\inta^bf(x)dx∫ab​f(x)dx发散。设函数f(x)f(x)f(x)在(a,b](a,b](a,b]上连续点bbb为f(x)f(x)f(x)的瑕点则可类似的定义函数f(x)f(x)f(x)在无穷区间[a,b][a,b][a,b]上的反常积分∫abf(x)dxlim⁡t→b−∫atf(x)dx\int{a}^bf(x)dx\lim\limits_{t\to b^-}\int_a^tf(x)dx∫ab​f(x)dxt→b−lim​∫at​f(x)dx。设函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上除点c(acb)c(acb)c(acb)外连续点ccc为函数f(x)f(x)f(x)的瑕点如果反常积分∫acf(x)dx\int_a^cf(x)dx∫ac​f(x)dx和∫cbf(x)dx\int_c^bf(x)dx∫cb​f(x)dx都收敛则称反常积分∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx收敛且∫abf(x)dx∫acf(x)dx∫cbf(x)dx\int_a^bf(x)dx\int_a^cf(x)dx\int_c^bf(x)dx∫ab​f(x)dx∫ac​f(x)dx∫cb​f(x)dx。如果反常积分∫acf(x)dx\int_a^cf(x)dx∫ac​f(x)dx和∫cbf(x)dx\int_c^bf(x)dx∫cb​f(x)dx至少有一个发散则称反常积分∫abf(x)dx\inta^bf(x)dx∫ab​f(x)dx发散。 比较判别法设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在[a,∞)[a,\infty)[a,∞)上连续且0≤f(x)≤g(x),xa0≤f(x)≤g(x),xa0≤f(x)≤g(x),xa为f(x)f(x)f(x)和g(x)g(x)g(x)的瑕点则 当∫abg(x)dx\int_a^bg(x)dx∫ab​g(x)dx收敛时∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx收敛。当∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx收敛时∫abg(x)dx\int_a^bg(x)dx∫ab​g(x)dx收敛。 比较判别法的极限形式设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)在(a,b](a,b](a,b]上非负连续且lim⁡x→af(x)g(x)λ\lim\limits{x\to a^}\frac{f(x)}{g(x)}\lambdax→alim​g(x)f(x)​λ有限或无穷则 当λ≠0\lambda≠0λ0时∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx与∫abg(x)dx\int_a^bg(x)dx∫ab​g(x)dx同敛散。当λ0\lambda0λ0时若∫abg(x)dx\int_a^bg(x)dx∫ab​g(x)dx收敛则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx也收敛。当λ∞\lambda\inftyλ∞时若∫abg(x)dx\int_a^bg(x)dx∫ab​g(x)dx发散则∫abf(x)dx\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx也发散。 常用结论 ∫ab1(x−a)dx{p1,收敛p≥1,发散\int_a^b\frac{1}{(x-a)}dx\begin{cases}p1,收敛\p≥1,发散\end{cases}∫ab​(x−a)1​dx{p1,收敛p≥1,发散​∫ab1(b−x)dx{p1,收敛p≥1,发散\int_a^b\frac{1}{(b-x)}dx\begin{cases}p1,收敛\p≥1,发散\end{cases}∫ab​(b−x)1​dx{p1,收敛p≥1,发散​