[物理学与PDEs]第3章习题2 仅受重力作用的定常不可压流理想流体沿流线的一个守恒量

设定常 (即 $\cfrac{\p {\bf u}}{\p t}={\bf 0}$)、不可压缩 (设 $\rho=1$) 的理想流体所受的体积力仅为重力. 又设磁场满足条件: $({\bf H}\cdot\n){\bf H}={\bf 0}$. 若取 $x_3$ 为由地面开始并指向上方的铅直坐标, 试证明: 沿流线成立 $$\bex \cfrac{u^2}{2}+p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2+gx_3=C, \eex$$ 其中 $g$ 为重力加速度, $C$ 沿同一流线为常数.

证明: 由 (2. 51), $$\bex ({\bf u}\cdot\n){\bf u}=-\n \sex{p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^3}-g\ra ({\bf u}\cdot\n)\sez{\cfrac{u^2}{2}+p+\cfrac{1}{2}\mu_0H^2+gx_3}=0.  \eex$$