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福州建设工程协会网站查询系统,wordpress 留言板样式,百度自动点击器下载,wordpress 被镜像数学建模学习笔记 现学现卖#xff0c;随缘更新QwQ 主要根据b站大师兄的视频整理而成#xff0c;有不懂的可以去看原视频 List 数学建模学习笔记一、 层次分析法1.1 矩阵的一致性及其检验1.2 权重计算1.3 具体流程 二、模糊综合评测2.1 隶属函数2.2 隶属函数的确定方法2.3 模…数学建模学习笔记 现学现卖随缘更新QwQ 主要根据b站大师兄的视频整理而成有不懂的可以去看原视频 List 数学建模学习笔记一、 层次分析法1.1 矩阵的一致性及其检验1.2 权重计算1.3 具体流程 二、模糊综合评测2.1 隶属函数2.2 隶属函数的确定方法2.3 模糊综合评测 三、熵权法3.1 正向化与标准化3.2 流程 四、TOPSIS优劣解距离法五、灰色关联分析5.1 前置定义5.2 流程 六、线性规划6.1 基本定义6.2 标准型6.3 整数线性规划6.4 一点补充 七、非线性规划八、图论与最短路算法九、网络流模型十、微分方程十一、插值与拟合十二、时间序列12.1 分类及其结合12.2 时间序列预测方法12.3 趋势模型12.4 季节性周期性模型12.5 时间序列的平稳性 十三、旅行商问题十四、聚类分析入门14.1 相关性的刻画——距离及其他14.2 聚类分析算法 十五、BP神经网络 一、 层次分析法 1.1 矩阵的一致性及其检验 对于矩阵 A A A a i j a{ij} aij​表示第i个因素的重要程度是第j个因素的A[i][j]倍。 若矩阵A满足 a i j a{ij} aij​ * a j k a{jk} ajk​ a i k a{ik} aik​则称A为 一致矩阵否则称为 不一致矩阵 对于一致矩阵A有如下 三条性质 r a n k ( A ) rank(A) rank(A) 1且唯一非零特征根为nA的任意列向量都是对于特征根n的特征向量 上述性质告诉我们只要满足两两行/列 成倍数关系就是一致性矩阵。 对于不一致矩阵其最大特征根 λ m a x \lambda{max} λmax​n λ \lambda λ 与n相差越大其不一致程度越大。由此给出一致性检验指标 C I CI CI λ m a x − n n − 1 \frac{ \lambda{max} - n} {n-1} n−1λmax​−n​ 其中 λ m a x \lambda{max} λmax​表示最大特征值。CI越大表示一致性越差越接近0则一致性越好。 由于 C I CI CI受随机因素影响阶数n越大该因素越显著。为了衡量 C I CI CI的大小引入 R I RI RI表示随机一致性指标并以 一致性比例 C R CR CR C I R I \frac{CI}{RI} RICI​ 作为判断依据。若 C R CR CR0.1则认为判断矩阵的一致性可以接受否则需要对判断矩阵进行修正若不满足则需构造出更多的倍数关系直至 C R CR CR 0.1 1.2 权重计算 层次分析法的最终目的就是获得不同要素的权重以便于后续进行加权平均。具体地先将每一列进行 归一化也即将 a i j a{ij} aij​替换为 a i j ∑ i 1 n a i j \frac{ a{ij} }{\sum{i1}^{n}a_{ij}} ∑i1n​aij​aij​​ 然后对于非一致矩阵将 W i ∑ j 1 n a i j n Wi\frac{\sum{j1}^{n}a_{ij}}{n} Wi​n∑j1n​aij​​作为第i个要素的权重。这种求权重的方法称为算数平均求权重。由于一致矩阵各列成比例所以只需取第一列即可不需要进行算术平均。 另一种求权重的方式为将最大特征值对应的特征向量进行归一化第i个分量的值即为 W i W_i Wi​。这种方法称为特征值法求权重。 这种方法较于前一种方法更加方便使用因而在实际比赛和科研中建议使用特征值法。 1.3 具体流程 根据专家意见、问卷调查等方式获得判断矩阵 A A A并对 A A A进行一致性检验若 C R CR CR0.1认为一致性检验通过否则构造新的判断矩阵将判断矩阵各个列进行归一化随后对每一行求算数平均所得即为权重 层次分析法是一种主观确定权重的方式后续还会有客观确定权重的方式——熵权法 二、模糊综合评测 一般的对立集合具有排中律即“非此即彼”而对于不满足排中律的情况则需要引入隶属函数衡量每个元素对于不同集合的隶属度。换句话说就是对于一个论域 U U U 构造一个函数 f : U → [ 0 , 1 ] f:U \rightarrow [0,1] f:U→[0,1]以评判 U U U中每一个元素的隶属度。与层次分析法一样这种方法也属于主观评价方法。 2.1 隶属函数 对于模糊集合 A “年轻” U ( 0 , 120 ) A“年轻”U(0,120) A“年轻”U(0,120)定义隶属函数 μ A \mu_A μA​ μ A { 1 0 x 20 40 − x 20 20 ≤ x ≤ 40 0 40 x 120 \mu_A \begin{cases} 10x20\ \displaystyle\frac{40-x}{20}20≤x≤40\ 040x120 \end{cases} μA​⎩ ⎨ ⎧​10x202040−x​20≤x≤40040x120​ 可以看到这个函数对U中每一个元素都给出了一个对于 A A A的隶属度越大则越符合。 模糊集合的表示方法包括扎德表示法序偶表示法向量表示法等。 序偶表示法 { ( x 1 , A ( x 1 ) ) , ( x 2 , A ( x 2 ) ) … ( x n , A ( x n ) } {(x_1,A(x_1)),(x_2,A(x_2))…(x_n,A(x_n)} {(x1​,A(x1​)),(x2​,A(x2​))…(xn​,A(xn​)} 向量表示法 A { A ( x 1 ) , A ( x 2 ) … A ( x n ) } A{A(x_1),A(x_2) … A(xn)} A{A(x1​),A(x2​)…A(xn​)} 当U为无限集时定义 A ∫ x ∈ U μ A ( x ) x d x A\displaystyle\int{x\in U} \frac{\mu_A(x)}{x} dx A∫x∈U​xμA​(x)​dx 上面例子中 A “年轻” A“年轻” A“年轻”属于极小型因为值越小隶属度应当越高。对于这类集合其隶属函数应形如 μ A { 1 x a b − x b − a a ≤ x ≤ b 0 x b \mu_A \begin{cases} 1xa\ \displaystyle\frac{b-x}{b-a}a≤x≤b\ 0xb \end{cases} μA​⎩ ⎨ ⎧​1xab−ab−x​a≤x≤b0xb​ 相应地对于极大型 其形式为 μ A { 0 x a x − b b − a a ≤ x ≤ b 1 x b \mu_A \begin{cases} 0xa\ \displaystyle\frac{x-b}{b-a}a≤x≤b\ 1xb \end{cases} μA​⎩ ⎨ ⎧​0xab−ax−b​a≤x≤b1xb​ 对于中间型其左侧为极大型函数右侧为极小型函数不作赘述。 上面的构造方法称为梯形型事实上还存在k次抛物型、柯西型、正态型等等在需要时可以自行查阅。 2.2 隶属函数的确定方法 确定隶属函数有模糊统计、F分布、三分法等至少应该满足如下条件 极小型集合的下界a小于a的元素均不属于其他集合极大型同理增长趋势应符合主观经验 2.3 模糊综合评测 对于一级模糊综合评价遵循如下步骤 确定因素集 U U U例如 {工作业绩、工作态度、沟通能力}评语集 V V V例如 {好较好中差很差}确定各因素 U U U中各个元素的权重若无数据可采用层次分析法若给出数据则使用熵权法的TOPSiS也可以不确定权重对每个 u i u_i ui​确定其对于每个 v j v_j vj​的隶属度对指标 u i ui ui​的评判记作 R [ r i 1 , r i 2 … r i n ] R[r{i1},r{i2}\dots r{in}] R[ri1​,ri2​…rin​] 其中 r i j r_{ij} rij​表示 u i u_i ui​对于 v j vj vj​的隶属度。对每一列进行加权平均即左乘行向量,取数值最大的评语作为最后综合评判结果 若将评语集更改为方案集上述流程可以判断出哪个方案最优 此时也可称评语集不带有评价色彩。 类似地对于因素集中、指标过多时可根据相关性将因素归纳成一个个小集合从而进行模糊综合评价的嵌套也即多级模糊综合评测。 三、熵权法 信息熵是衡量混乱程度的量其定义为: H ( X ) ∑ i 1 n [ p ( x i ) I ( x i ) ] − ∑ i 1 n [ p ( x i ) l n ( p ( x i ) ) ] H(X)\sum{i1}^n[p(x_i)I(xi)]-\sum{i1}^n[p(x_i)ln(p(x_i))] H(X)i1∑n​[p(xi​)I(xi​)]−i1∑n​[p(xi​)ln(p(xi​))] 其中 I ( x i ) − l n ( p ( x i ) ) I(x_i)-ln(p(x_i)) I(xi​)−ln(p(xi​))表示 x i x_i xi​的信息量。根据公式可以将信息熵理解为对信息量的期望值。信息熵越大所当前状态的混乱程度最大也即掌握的信息最少信息的本质就是减少混乱程度增大确定性以该指标衡量对象的可靠性越差信息有效性也就越小。 3.1 正向化与标准化 在应用熵权法之前要先对数据进行正向化处理。指标大致可分为四类极小型越小越好、极大型越大越好、中间型越接近越好区间型落在区间内最好。我们的目标是将其余三种类型转换为极大型。 将极小型转化为极大型公式为 m a x − x max-x max−x或 1 x ( x 0 ) \displaystyle\frac{1}{x}(x0) x1​(x0) m a x max max表示该指标下的最大值中间型转化为极大型公式为 x ~ i 1 − ∣ x i − x b e s t ∣ M \displaystyle\tilde x_i 1-\frac{\left|xi-x{best}\right|}{M} x~i​1−M∣xi​−xbest​∣​其中 M m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } Mmax{\left|xi-x{best}\right| } Mmax{∣xi​−xbest​∣}表示指标下的最大偏差区间型转化为极大型方式类似于中间型隶属函数 x ~ i { 1 − a − x i M x i a 1 1 a ≤ x i ≤ b 1 − x i − b M x i ≥ b \displaystyle\tilde x_i \begin{cases} 1-\frac{a-x_i}{M}x_ia_1\ 1a\le x_i \le b\ 1-\frac{x_i-b}{M}xi\ge b \end{cases} x~i​⎩ ⎨ ⎧​1−Ma−xi​​xi​a1​1a≤xi​≤b1−Mxi​−b​xi​≥b​其中 M m a x { a − m i n , m a x − b } Mmax{a-min,max-b} Mmax{a−min,max−b}为最值到边界的最大距离。对于极大型若存在负元素则可将每一个元素替换为 x − m i n x-min x−min 这样三类数据都可以用极大型指标的方式呈现且均非负。 随后为了消除量纲的影响对每个数据进行标准化。设标准化后的矩阵为 Z Z Z则 Z Z Z满足 z i j x i j ∑ i 1 n x i j 2 \displaystyle z{ij}\frac{x{ij}}{\sqrt{\sum{i1}^n x_{ij}^2}} zij​∑i1n​xij2​ ​xij​​ 对每一列再做归一化得到的矩阵 P P P称为比重矩阵 3.2 流程 对数据进行正向话、标准化与归一化最终得到矩阵 P P P令信息熵 e j − 1 ln ⁡ n p i j ln ⁡ ( p i j ) ( j 1 , 2 , … , m ) ej-\frac{1}{\ln n}p{ij} \ln (p_{ij})(j1,2,\dots ,m) ej​−lnn1​pij​ln(pij​)(j1,2,…,m)注意这里新增了 − 1 ln ⁡ n -\frac{1}{\ln n} −lnn1​以将结果规范到[0,1]之间由此得到信息效用值 d j 1 − e j d_j1-e_j dj​1−ej​再将信息效用值归一化得到熵权 W j d j / ∑ j 1 m d j ( j 1 , 2 , … , m ) W_j dj/\sum{j1}^m d_j (j1,2,\dots,m) Wj​dj​/∑j1m​dj​(j1,2,…,m) 四、TOPSIS优劣解距离法 该方法用于衡量某一个方案的优劣具体思想是将每个衡量对象的指标标准化后分析其与最优解与最劣解的距离进而得出最优解。 将数据化为 n × m n \times m n×m的矩阵 A A An表示待评测对象个数m表示指标个数。将 A A A进行正向化、标准化选出各个指标下最大值 M i M_i Mi​与最小值 m i m_i mi​也即每一列最大值组成最优解向量 M M M与最劣解向量 m m m对每个待衡量对象也即 A A A的每个行向量计算其与 M M M与 m m m的欧氏距离分别记作 D i D_i^ Di​与 D i − D_i^- Di−​定义该对象的得分 S i D i − D i D i − \displaystyle S_i\frac{D_i^-}{D_i^ D_i^-} Si​Di​Di−​Di−​​。 S i Si Si​越大说明该对象越优反之则越劣。 如果要考虑权重则需将距离计算公式改为 ∑ i 1 m w i ( x i − y i ) 2 \sqrt{\sum{i1}^m w_i(x_i-y_i)^2} ∑i1m​wi​(xi​−yi​)2 ​的形式即可权重的获取方法如上述。 五、灰色关联分析 灰色关联分析用于处理已知信息较少的问题通过分析大致趋势的贴合程度得出各个影响因素的重要程度。 5.1 前置定义 参考序列母序列能反映系统行为特征的数据序列记作 x 0 x_0 x0​类似于“因变量”。比较序列子序列影响系统行为的因素组成的数据序列记作 x i ( i 1 , 2 , … n ) xi(i1,2,\dots n) xi​(i1,2,…n)类似于“自变量”。两级最小差 a m i n s , t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ amin{s,t} \left| x_0(t)-xs(t)\right| amins,t​∣x0​(t)−xs​(t)∣两级最大差 b m a x s , t ∣ x 0 ( t ) − x s ( t ) ∣ bmax{s,t} \left| x_0(t)-x_s(t)\right| bmaxs,t​∣x0​(t)−xs​(t)∣ 在这里我们引入新的去除量纲的方法即对每个指标中的元素除以该指标的均值。 5.2 流程 对数据进行预处理正向化去除量纲等等并计算出两级最大/小差对每个元素定义 γ ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) a ρ b ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ ρ b \gamma (x_0(k),x_i(k))\displaystyle\frac{a\rho b}{\left| x_0(k)-x_i(k)\right| \rho b} γ(x0​(k),xi​(k))∣x0​(k)−xi​(k)∣ρbaρb​其中 ρ \rho ρ称为分辨系数一般取值为0.5将各指标曲平均值作为该序列的灰色关联度即 γ ( x 0 , x i ) 1 n ∑ k 1 n γ ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) \gamma(x_0,xi)\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits{k1}^{n}\gamma (x_0(k),x_i(k)) γ(x0​,xi​)n1​k1∑n​γ(x0​(k),xi​(k))值越大表明该因素与系统行为关联越大。 具体操作中有一些excel的小技巧详见 大师兄的讲解视频 六、线性规划 数学规划是一类针对有限制的关系寻求最优解的方法。若关系及其限制均为线性则称这类规划为线性规划。 6.1 基本定义 决策变量即对最优解有影响的因素目标函数形如 y a 1 x 1 a 2 x 2 … a n x n ya_1x_1a_2x_2\dots a_nxn ya1​x1​a2​x2​…an​xn​规划目标即为求得y的最大/小值约束条件形如 b p 1 x p 1 b p 2 x p 2 … b p n x p n ≤ ( 或 ≥ ) c b{p1}x{p1}b{p2}x{p2}\dots b{pn}x_{pn} \leq (或\geq) c bp1​xp1​bp2​xp2​…bpn​xpn​≤(或≥)c表示对决策变量的限制条件 针对这类问题一般采取拉格朗日乘数法由于实际应用中可以直接调用函数求解故不作介绍。 6.2 标准型 调用MATLAB要求对输入数据进行标准化。引入线性规划的标准型 min ⁡ f T x , s . t . { A ⋅ x ≤ b A e q ⋅ x b e q l b ≤ x ≤ u b \min f^T x,s.t. \begin{cases} A \cdot x\leq b\ Aeq \cdot x beq\ lb \leq x \leq ub \end{cases} minfTx,s.t.⎩ ⎨ ⎧​A⋅x≤bAeq⋅xbeqlb≤x≤ub​ 其中 f T f^T fT为系数向量 [ c 1 , c 2 , ⋯ c n ] [c_1,c_2, \cdots c_n] [c1​,c2​,⋯cn​] 在MATLAB中求解函数格式为 [x,val] linprog(f, A, b. Aeq, beq, lb, ub) % 若某项约束不存在则在对应位置填[]其中 x 为目标函数取得最小值时各个变量的取值val 表示目标函数的最小值 由于最开始给定的数据往往不满足上述形式所以往往需要先进行预处理。 在实际建模中我们也常常能见到多个目标函数的情况例如投资问题中我们往往希望风险尽可能低收益尽可能高。这时我们可以定义它们的加权平均为新的目标函数。也可以通过将其余目标化为限制条件进而保证目标函数只有一个比如认为只要风险小于一定程度即认为可行将收益最大化。 6.3 整数线性规划 整数线性规划即部分或全部决策因素只能为整数的一类问题在MATLAB中也有直接对应的函数即 [x,val] intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)注意到intlinprog 相较于 linprog 新增了 intcon 这一参数用来指定哪些变量为整数例如决策变量 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x1​,x2​,x3​中第一个和第三个为整数则 intcon[1,3] 这里引入一个特殊的整数规划模型——0-1整数规划即变量只能取0或1。落实到函数中只需要令上述函数中lb0,ub1即可。 下面给出对应例题依次为 0-1背包问题 与 指派问题 对于整数规划一个常见误解是只要对线性规划所得解进行简单取整就可以了。事实上整数线性规划虽然与一般线性规划有许多联系但绝不能粗暴地以取整相联系。 不过根据这个思路我们可以在一般线性规划的最优解附近寻找整数可行解这种方法称为 完全枚举法也可以通过将最优解中非整数元素 x i x_i xi​作为对整数域的分割点分别对 { y i ∈ Z ∣ y i ≥ ⌊ x i ⌋ 1 } { y_i \in \mathbb{Z}|y_i \geq \lfloor x_i\rfloor 1 } {yi​∈Z∣yi​≥⌊xi​⌋1} 和 { y i ∈ Z ∣ y i ≤ ⌊ x i ⌋ } { y_i \in \mathbb{Z}|y_i \leq \lfloor xi\rfloor } {yi​∈Z∣yi​≤⌊xi​⌋}两个集合进行讨论直到所有领域都讨论完 或 找到整数最优解为止。这种方法称为分枝定界法。 6.4 一点补充 对于 非线性规划一些典型的处理方法包括 蒙特卡洛模拟即用大量随机试验得出最终结果我们将会在后续予以介绍。 这道题可以采用0-1整数规划的思维对应的方程组·为 { max ⁡ y ∑ i 1 10 c i x i ∑ i 1 10 w i x i ≤ 30 x i ∈ { 0 , 1 } i 1 , 2 , ⋯ 10 \left { \begin{array}{c} \max y\sum\limits{i1}^{10}c_i xi \ \sum\limits{i1}^{10} w_i x_i \leq 30 \ x_i \in { 0,1 }i1,2, \cdots 10 \end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧​maxyi1∑10​ci​xi​i1∑10​wi​xi​≤30xi​∈{0,1}i1,2,⋯10​ 该题也是动态规划的经典例题可以思考如何设计状态转移方程。 七、非线性规划 若存在某些限制 或 目标函数 不满足线性形式即并非所有因素的幂次均为1则称这类问题为非线性规划。在MATLAB中同样有一个求解函数—— fmincon。 [x,val]fmincon(f, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcun, option)对于新引入的变量 f:目标函数定义在外部x0:初始值由于求出来的只能是局部最优解所以必须设定option求解方法有interior-point内点法、sqp序列二次规范法、active-set有效集法、trust-region-reflective信赖域反射算法nonlcun调用了一个定义在外部的非线性部分的约束也可以定义在脚本内部 虽然该算法只能求出局部最优解但是如果设立多个初始值则可能得到全局最优解类似于蒙特卡洛的思想。具体实现参看下图对不起我太懒了
八、图论与最短路算法 关于这部分内容由于信息竞赛出身就不赘述了。这里列出一条大纲可以根据大纲配合网络资料学习 以后有时间再回来填坑 图的定义与表示方法最短路模型与求解算法 1 Dijkstra算法非负边权单源最短路贪心思想 2 Bellman_Ford算法能解决存在负边权的模型并判断是否有负权环此时无最短路利用n-1次松弛求出最优解复杂度较大 3Floyd算法三重循环给出无向图任意两点间的最短距离 在MATLAB中已经有了对应的求解函数——shortestpath [P, d] shortestpath (G, start, end, [method, algorithm])G要求解的图start起始节点end目标节点[‘method’algorithm]P最短路径经过的节点序列d最短距离 九、网络流模型 碎碎念学信息竞赛的时候就被这种算法的魅力折服了因为它真的好神奇但也是真的难…… 求解算法的实现就是简单的模板难就难在如何判断某个问题能否划归为网络流问题 关于这部分的算法原理以及C实现参看我之前写的一篇文章包含最大流、最小割与费用流。 在MATLAB中求解最大流的函数为 graphmax [Maxflow, FlowMatrix, Cut] graphmaxflow(matrix, vs, vt)matrix 要求解的有向图的稀疏矩阵vs源点vt汇点Maxflow最大流FlowMatrix包含每条边所有流量的稀疏矩阵Cut计算发点与终点的最小切合后链接起点的逻辑行向量如果有多个解表示为一个矩阵 对于费用流不断地在残量网络上进行最短路算法即可。 十、微分方程 微分方程与其说是一个模块不如说是一种思想一类问题。面对变化趋势与函数值关联的问题时我们往往需要建立微分方程来进行刻画例如传染病模型弹簧振动方程等等。 (后面有机会再填坑吧 十一、插值与拟合 插值与拟合都是分析数据大致分布的方式数据少而精确往往用插值数据多而低精度往往用拟合。 插值与拟合在MATLAB中都有相应的算法需要根据具体需要选择合适的拟合方式。 后面有机会再回来填坑 十二、时间序列 时间序列简而言之就是按时间顺序排列的数据。这里探讨的就是如何根据时间序列对未来进行预测 12.1 分类及其结合 根据时间对数据的影响可分为以下几类 长期趋势变动长期上升或下降季节变动仅受季节因素影响循环变动存在周期性随机变动与时间无关 我们常见的数据往往是这四类数据以 加法 或 乘法 的方式结合起来例如若“羽绒服销量”呈现同比增长的趋势则应将长期趋势变动程度 与 季节变动程度 相乘。 12.2 时间序列预测方法 某一时刻的数据受最近的数据影响程度较大而受相对久远的数据影响较小。根据这一思想要想构建函数进行分析预测需要引入与时间有关的权值函数 f ( t ) f(t) f(t)。 长期趋势变动类型中 f ( t ) f(t) f(t)需要对 t 单调递增。最简单的思路是取 待预测时间点的前n项 取平均其余项不做考虑该方法称为 移动平均法MA此时 f n ( t ) { 1 n , t 0 − t ≤ n 0 , t 0 − t n f_n(t) \begin{cases} \frac{1}{n},t_0-t \leq n\ 0,t0-tn \end{cases} fn​(t){n1​,t0​−t≤n0,t0​−tn​ 同样地可以对移动平均法得到的数据进行二次或更多次移动平均。 这种方式显然是十分粗暴的。一般来说 f ( t ) f(t) f(t)是随t增大而平滑上升的。于是我们构建这样一个递推式: x ^ t 1 α x t α ( 1 − α ) x ^ t \hat x{t1} \alpha x_t \alpha (1 - \alpha)\hat xt x^t1​αxt​α(1−α)x^t​ x ^ t 1 \hat x{t1} x^t1​ 对第t1个时刻的预测值 x t x_t xt​表示t时刻的观测值。此时越接近当下的数据项其对应的权重越大 这种方法称为简单指数平滑法 α \alpha α被称为平滑系数。这种方法无法分析具有趋势的情况只是单纯地调整了权重。 12.3 趋势模型 在此基础上我们引入霍特线性趋势模型其具体方程组如下 { l t α x t ( 1 − α ) ( l t − 1 b t − 1 ) 水平平滑方程 b t β ( l t − l t − 1 ) ( 1 − β ) b t − 1 趋势平滑方程 x ^ t h l t h b t 预测方程 \left{ \begin{array}{} l_t\alpha xt (1 - \alpha )(l{t-1} b_{t-1})水平平滑方程 \ b_t\beta(lt - l{t-1}) (1 - \beta)b{t-1}趋势平滑方程\ \hat x{th} l_t hb_t 预测方程 \end{array} \right . ⎩ ⎨ ⎧​lt​αxt​(1−α)(lt−1​bt−1​)水平平滑方程bt​β(lt​−lt−1​)(1−β)bt−1​趋势平滑方程x^th​lt​hbt​预测方程​ t t t当前期 h h h预测超前期数 x t x_t xt​第t期的实际观测值 l t l_t lt​时刻t的预估水平 b t b_t bt​时刻t的预测趋势 α \alpha α水平的平滑参数 β \beta β趋势的平滑参数 我们已经能够看到这里在继承简单平滑法水平平滑的基础上又引入了对未来趋势的分析趋势平滑平滑系数则起到了平衡“惯性”旧有预测与“变化”新增信息的作用。 然而这个模型依旧是不够理想的且往往会出现预测过度的情况所以后人又增加了“阻尼系数”的概念用以抑制未来某一时刻的趋势这一模型称为阻尼趋势模型。 { l t α x t ( 1 − α ) ( l t − 1 ϕ b t − 1 ) 水平平滑方程 b t β ( l t − l t − 1 ) ( 1 − β ) ϕ b t − 1 趋势平滑方程 x ^ t h l t ( ϕ ϕ 2 ⋯ ϕ h ) b t 预测方程 \left{ \begin{array}{} l_t\alpha xt (1 - \alpha )(l{t-1} \phi b_{t-1})水平平滑方程 \ b_t\beta(lt - l{t-1}) (1 - \beta)\phi b{t-1}趋势平滑方程\ \hat x{th} l_t (\phi \phi ^2 \cdots \phi ^h)b_t 预测方程 \end{array} \right . ⎩ ⎨ ⎧​lt​αxt​(1−α)(lt−1​ϕbt−1​)水平平滑方程bt​β(lt​−lt−1​)(1−β)ϕbt−1​趋势平滑方程x^th​lt​(ϕϕ2⋯ϕh)bt​预测方程​ t t t当前期 h h h预测超前期数 x t x_t xt​第t期的实际观测值 l t l_t lt​时刻t的预估水平 b t b_t bt​时刻t的预测趋势 α \alpha α水平的平滑参数 β \beta β趋势的平滑参数 ϕ \phi ϕ阻尼系数 0 ϕ ≤ 1 0\phi \leq 1 0ϕ≤1 容易发现当阻尼系数为1时该模型退化为霍特线性模型。 12.4 季节性周期性模型 季节性的预测不同于上个模型的环比推导更注重同期的比较。 { l t α ( x t − s t − m ) ( 1 − α ) l t − 1 , 水平平滑方程 s t γ ( x t − l t − 1 ) ( 1 − γ ) s t − m , 季节平滑方程 x ^ t h l t s t h − m ( k 1 ) , k ⌊ h − 1 m ⌋ , 预测方程 \begin{cases} l_t\alpha (xt-s{t-m})(1 - \alpha )l_{t-1},水平平滑方程\ s_t \gamma (xt - l{t-1}) (1 - \gamma )s{t-m},季节平滑方程\ \hat x{th} lt s{th-m(k1)},k\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor ,预测方程\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​lt​α(xt​−st−m​)(1−α)lt−1​,水平平滑方程st​γ(xt​−lt−1​)(1−γ)st−m​,季节平滑方程x^th​lt​sth−m(k1)​,k⌊mh−1​⌋,预测方程​ m m m周期长度 α \alpha α水平平滑参数 γ \gamma γ季节平滑参数 h h h预测超前期数 x ^ t h \hat x_{th} x^th​第h期的预测值 与上一个模型复合起来得到的模型可以更好地刻画增长趋势。 霍特-温特季节性加法模型应用于较为稳定的、有季节性特征的情况 { l t α ( x t − s t − m ) ( 1 − α ) ( l t − 1 b t − 1 ) , 水平平滑方程 b t β ( l t − l t − 1 ) ( 1 − β ) b t − 1 , 趋势平滑方程 s t γ ( x t − l t − 1 − b t − 1 ) ( 1 − γ ) s t − m , 季节平滑方程 x ^ t h ( l t h b t ) s t h − m ( k 1 ) , k ⌊ h − 1 m ⌋ , 预测方程 \begin{cases} l_t\alpha (xt-s{t-m})(1 - \alpha )(l{t-1} b{t-1}),水平平滑方程\ b_t\beta(lt-l{t-1})(1 - \beta)b_{t-1},趋势平滑方程\ s_t \gamma (xt - l{t-1} - b{t-1}) (1 - \gamma )s{t-m},季节平滑方程\ \hat x_{th} (l_t hbt) s{th-m(k1)},k\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor ,预测方程\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​lt​α(xt​−st−m​)(1−α)(lt−1​bt−1​),水平平滑方程bt​β(lt​−lt−1​)(1−β)bt−1​,趋势平滑方程st​γ(xt​−lt−1​−bt−1​)(1−γ)st−m​,季节平滑方程x^th​(lt​hbt​)sth−m(k1)​,k⌊mh−1​⌋,预测方程​ 霍特-温特季节性阻尼趋势模型应用于稳定性不太强的情况。 { l t α x t s t − m ( 1 − α ) ( l t − 1 ϕ b t − 1 ) , 水平平滑方程 b t β ( l t − l t − 1 ) ( 1 − β ) ϕ b t − 1 , 趋势平滑方程 s t γ x t l t − 1 ϕ b t − 1 ( 1 − γ ) s t − m , 季节平滑方程 x ^ t h ( l t ( ϕ ϕ 2 ⋯ ϕ h ) b t ) s t h − m ( k 1 ) , k ⌊ h − 1 m ⌋ , 预测方程 \begin{cases} \displaystyle l_t\alpha \frac{xt}{s{t-m}}(1 - \alpha )(l{t-1} \phi b{t-1}),水平平滑方程\ b_t\beta(lt-l{t-1})(1 - \beta)\phi b_{t-1},趋势平滑方程\ \displaystyle s_t \gamma \frac{xt}{l{t-1} \phi b{t-1}} (1 - \gamma )s{t-m},季节平滑方程\ \hat x_{th} ( l_t (\phi \phi ^2 \cdots \phi ^h)bt) s{th-m(k1)},k\lfloor \frac{h-1}{m} \rfloor ,预测方程\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​lt​αst−m​xt​​(1−α)(lt−1​ϕbt−1​),水平平滑方程bt​β(lt​−lt−1​)(1−β)ϕbt−1​,趋势平滑方程st​γlt−1​ϕbt−1​xt​​(1−γ)st−m​,季节平滑方程x^th​(lt​(ϕϕ2⋯ϕh)bt​)sth−m(k1)​,k⌊mh−1​⌋,预测方程​
12.5 时间序列的平稳性 平稳性指性质与观测时间无关的序列因此具有趋势或季节性的时间序列不是平稳的。值得注意的是仅具有周期性行为的时间序列是平稳的因为周期长度不固定我们预先不知道周期的波峰或波谷在哪。 若时间序列 { x t } {x_t } {xt​}满足以下三个条件 (1) E ( x t ) E ( x t − s ) u E(xt)E(x{t-s})u E(xt​)E(xt−s​)u均值为固定常数) (2) V a r ( x t ) V a r ( x t − s σ 2 Var(xt) Var(x{t-s}\sigma ^2 Var(xt​)Var(xt−s​σ2方差存在且为常数 (3) C o v ( x t , x t − s ) γ s Cov(xt,x{t-s})\gamma _s Cov(xt​,xt−s​)γs​协方差只和间隔s有关与t无关 则称 x t {x_t} xt​为 协方差稳定 。 要判断序列是否平稳我们一般通过检查自相关系数ACF定义: ρ s c o v ( x 1 , x t − s ) V a r ( x t ) V a r ( x t − s ) γ s γ 0 , 其中 γ 0 C o v ( x 1 , x t ) V a r ( x t ) \rho _s \frac{cov(x1,x{t-s})}{\sqrt{Var(xt)} \sqrt{Var(x{t-s})}}\frac{\gamma _s}{\gamma _0},其中\gamma _0 Cov(x_1,x_t) Var(x_t) ρs​Var(xt​) ​Var(xt−s​) ​cov(x1​,xt−s​)​γ0​γs​​,其中γ0​Cov(x1​,xt​)Var(xt​) 这个量可以用来衡量间隔s的一对变量的相关系数。然而由于某一个变量可能受其前面多个元素影响对于 x t ϕ s 1 x t − 1 ⋯ ϕ s s x t − s e t x_t \phi {s1}x{t-1} \cdots \phi {ss}x{t-s} e_t xt​ϕs1​xt−1​⋯ϕss​xt−s​et​,其中\phi {ss}就是我们关注的偏自相关系数PACF。 十三、旅行商问题 有一个旅行商需要拜访每一个小镇后再回到家里小镇之间两两可达且需要一定路费该如何规划路线才能在总花费最少呢 将这个问题转化为图论问题即在一张带权无向图中遍历所有点后返回的最小代价。 一个简单的贪心思路是先随便找一个圈再思考如何对这个圈进行改良。对于初始圈只需要给出这个点的排列就可以了用 w ( i , j ) w(i,j) w(i,j)指代边权。 具体地对于排列 P P P若存在 i , j i,j i,j 满足: w ( i , i 1 ) w ( j , j 1 ) w ( i , j ) w ( i 1 , j 1 ) w(i,i1)w(j,j1)w(i,j)w(i1,j1) w(i,i1)w(j,j1)w(i,j)w(i1,j1) 则断开 ( i , i 1 ) (i,i1) (i,i1) 与 ( j , j 1 ) (j,j1) (j,j1)连接 ( i , j ) (i,j) (i,j) 与 ( i 1 , j ) (i1,j) (i1,j)重新构筑起一个圈。体现在排列 P P P上即将 p i 1 , p i 2 , ⋯ p j p{i1},p_{i2}, \cdots pj pi1​,pi2​,⋯pj​ 翻转或称颠倒顺序形成新的排列 P ′ P P′。这种算法称为改良圈算法。在实际应用中为了增大正确性往往需要设立多个初始圈执行算法。 当然例子中的旅行商若增大到多个那么模型又会有新的变化这个我们日后再讨论。 十四、聚类分析入门 聚类分析即将数据进行分类“离得近”的认为是一组“离得远”的集合彼此分开。这里定义“远近”所需的“距离”往往需要根据我们自己的定义。 14.1 相关性的刻画——距离及其他 将数据视作一个个向量再对向量定义各种各样的“距离”。下面列举一些常见距离 绝对值距离曼哈顿距离 ∑ k 1 n ∣ x k − y k ∣ \displaystyle\sum{k1}^n \left| x_k - yk\right| k1∑n​∣xk​−yk​∣欧氏距离 ∑ k 1 n ( x k − y k ) 2 \sqrt{\displaystyle\sum{k1}^n (x_k - yk)^2} k1∑n​(xk​−yk​)2 ​Minkowski距离 [ ∑ k 1 n ( x k − y k ) p ] 1 p \displaystyle[ \sum{k1}^n (x_k - yk)^p ]^\frac{1}{p} [k1∑n​(xk​−yk​)p]p1​切比雪夫距离 max ⁡ 1 ≤ k ≤ p ∣ x k − y k ∣ \displaystyle \max{1 \leq k \leq p} \left| x_k - y_k \right| 1≤k≤pmax​∣xk​−yk​∣ 这里再引入两个概念。第一个为 (线性)相关系数 r ρ ( X i , X j ) ∑ k 1 n ( x k i − x ˉ i ) ( x k j − x ˉ j ) ∑ k 1 n ( x k i − x ˉ i ) 2 ∑ k 1 n ( x k j − x ˉ j ) 2 \displaystyle r \rho(X_i,Xj) \frac{\sum{k1}^n(x_{ki} - \bar xi)(x{kj} - \bar xj)}{\sqrt {\sum{k1}^{n}(x_{ki} - \bar xi)^2}{\sqrt{\sum{k1}^{n}(x_{kj}-\bar x_j)^2}}} rρ(Xi​,Xj​)∑k1n​(xki​−xˉi​)2 ​∑k1n​(xkj​−xˉj​)2 ​∑k1n​(xki​−xˉi​)(xkj​−xˉj​)​ 可以看到分子上为协方差 c o v ( X i , X j ) cov(X_i,X_j) cov(Xi​,Xj​)也即两个平移后向量的内积分母上为两个向量各自标准差相乘 σ ( X i ) ⋅ σ ( X j ) \sigma(X_i) \cdot \sigma(X_j) σ(Xi​)⋅σ(Xj​)也即两个平移后的向量对应模长相乘。由此也容易得知 r ∈ [ − 1 , 1 ] r \in [-1,1] r∈[−1,1] r0对应正相关r0对应负相关r0认为不具备线性相关性。 注意相关系数仅用于判断线性相关程度不能说明两个向量不具备其他类型的相关性 第二个概念为夹角余弦即未经平移后的向量直接求夹角余弦 c o s ⟨ X i , X j ⟩ ∑ k 1 n ( x k i − x ˉ i ) ( x k j − x ˉ j ) ∑ k 1 n x k i 2 ∑ k 1 n x k j 2 \displaystyle cos\langle X_i,Xj \rangle \frac{\sum{k1}^n(x_{ki} - \bar xi)(x{kj} - \bar xj)}{\sqrt {\sum{k1}^{n} x{ki}^2}{\sqrt{\sum{k1}^{n} x_{kj}^2}}} cos⟨Xi​,Xj​⟩∑k1n​xki2​ ​∑k1n​xkj2​ ​∑k1n​(xki​−xˉi​)(xkj​−xˉj​)​ 在进行聚类后我们还需要分析两个类之间的相关性所以还需要对两个类设为 G p G_p Gp​, G q G_q Gq​之间的距离 D ( G p , G q ) D(G_p,Gq) D(Gp​,Gq​)进行定义。 重心距离定义类的重心 X ˉ 1 n ∑ k 1 n X k \bar X\frac{1}{n}\sum{k1}^n X_k Xˉn1​∑k1n​Xk​分别取两个类的重心 X ˉ p \bar X_p Xˉp​, X ˉ q \bar X_q Xˉq​将这两个向量的距离作为两个类之间的距离 D ( G p , G q ) d ( X ˉ p , X ˉ q ) D(G_p,G_q) d(\bar X_p , \bar X_q) D(Gp​,Gq​)d(Xˉp​,Xˉq​)平均距离枚举两个类中的向量将所有可能的距离算出后取平均 D ( G p , G q ) 1 ∣ ∣ G p ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ G q ∣ ∣ ∑ X ∈ G p , Y ∈ G q d ( X , Y ) D(G_p,G_q) \frac{1}{ || G_p|| \cdot ||Gq||}\displaystyle\sum{X \in G_p ,Y \in G_q} d(X,Y) D(Gp​,Gq​)∣∣Gp​∣∣⋅∣∣Gq​∣∣1​X∈Gp​,Y∈Gq​∑​d(X,Y)最短距离法取两个类间最短的距离作为类间距离 D ( G p , G q ) min ⁡ X ∈ G p , Y ∈ G q { d ( X , Y ) } D(G_p,Gq) \min{X \in G_p,Y \in G_q} { d(X,Y) } D(Gp​,Gq​)X∈Gp​,Y∈Gq​min​{d(X,Y)} 在实际算法中我们可以认为孤点看作类。 14.2 聚类分析算法 一个简单的思路是每次取一对距离最近的类将这两个类合并 十五、BP神经网络