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二级域名做网站有哪些缺点,网站建设说,电商网站建设需要哪些技术,有了网站怎么做优化文章目录 abstract微积分第二基本定理微积分基本公式公式书写例 结合不定积分的方法求定积分定积分换元法证明 定积分换元公式逆用例 和不定积分第二类换元法的差别定积分分部积分法例 abstract 微积分第一基本定理告诉我们,总是能够通过积分法构造(表达)一个连续函数的原函数… 文章目录 abstract微积分第二基本定理微积分基本公式公式书写例 结合不定积分的方法求定积分定积分换元法证明 定积分换元公式逆用例 和不定积分第二类换元法的差别定积分分部积分法例 abstract 微积分第一基本定理告诉我们,总是能够通过积分法构造(表达)一个连续函数的原函数结合同一个函数的原函数之间仅差一个常数的性质,引出微积分基本定理(也称第二基本定理)和Newton-Leibniz公式 微积分第二基本定理 如果 F ( x ) F(x) F(x)是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b],上的一个原函数,则: ∫ a b f ( x ) d x F ( b ) − F ( a ) \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}{x}F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dxF(b)−F(a)(0) 证明: 根据原函数存在定理: G ( x ) ∫ a x f ( t ) d t G(x)\int{a}^{x}f(t)\mathrm{d}t G(x)∫ax​f(t)dt,是连续函数 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数 两个原函数之差 F ( x ) − G ( x ) F(x)-G(x) F(x)−G(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上必定是某个常数C F ( x ) − G ( x ) C ( a ∈ [ a , b ] ) F(x)-G(x)C(a\in[a,b]) F(x)−G(x)C(a∈[a,b]),即 G ( x ) F ( x ) C G(x)F(x)C G(x)F(x)C(1) G ( b ) − G ( a ) [ F ( b ) C ] − [ F ( a ) C ] G(b)-G(a)[F(b)C]-[F(a)C] G(b)−G(a)[F(b)C]−[F(a)C] F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)(1-1) G ( b ) ∫ a b f ( x ) d x G(b)\int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x G(b)∫ab​f(x)dx(2); G ( a ) 0 G(a)0 G(a)0(2-1) 两式相减: G ( b ) − G ( a ) G(b)-G(a) G(b)−G(a) ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx(2-2),等号左右代入(1-1),得 F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a) ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx(3),即定理(公式(0))成立 本定理揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系(不定积分的结果为原函数) 更一般的.当 a b ab ab,定理也成立
微积分基本公式 公式(0)称为Newton-Leibniz公式,也叫微积分基本公式利用本公式可以大大简化定积分的计算手续 公式书写 记: ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx F ( x ) ∣ a b \left.F(x)\right|{a}^{b} F(x)∣ab​ F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)或 [ F ( x ) ] a b [F(x)]{a}^{b} [F(x)]ab​ F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a);第2种写法用得较少,但当遇到 F ( x ) F(x) F(x)本身以绝对值结尾的,可以提供方便,不易混淆 例 ∫ 0 1 x 2 d x \int{0}^{1}x^2\mathrm{d}x ∫01​x2dx 1 3 x 3 ∣ 0 1 \frac{1}{3}x^3|{0}^{1} 31​x3∣01​ 1 3 \frac{1}{3} 31​ ∫ − 2 − 1 1 x d x \int{-2}^{-1}\frac{1}{x}\mathrm{d}x ∫−2−1​x1​dx [ ln ⁡ ∣ x ∣ ] − 2 − 1 [\ln|x|]{-2}^{-1} [ln∣x∣]−2−1​ ln ⁡ 1 − ln ⁡ 2 0 − ln ⁡ 2 \ln1-\ln{2}0-\ln{2} ln1−ln20−ln2 ln ⁡ 2 \ln{2} ln2 结合不定积分的方法求定积分 定积分换元法 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续,函数 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t)满足 ϕ ( α ) a \phi(\alpha)a ϕ(α)a, ϕ ( β ) b \phi(\beta)b ϕ(β)b(0) ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)在 [ α , β ] [\alpha,\beta] α,β上中具有连续导函数,且其值域 R ϕ R{\phi} Rϕ​ [ a , b ] [a,b] [a,b] 以 t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β].为例, t ∈ [ α , β ] t\in[\alpha,\beta] t∈[α,β]时, x ϕ ( t ) ∈ [ a , b ] x\phi(t)\in[a,b] xϕ(t)∈[a,b] 则: ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx ∫ a β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{a}^{\beta}f(\phi(t))\phi(t)\mathrm{d}t ∫aβ​f(ϕ(t))ϕ′(t)dt(1),该公式为定积分换元公式 当 R ϕ R{\phi} Rϕ​超出了 [ a , b ] [a,b] [a,b], ϕ ( t ) \phi(t) ϕ(t)满足其他条件时,只要 f ( x ) f(x) f(x)在 R ϕ R{\phi} Rϕ​上连续,定理结论仍然成立通过方程组(0)解出 α , β \alpha,\beta α,β大小可能 α β \alpha\beta αβ,也可能时 α β \alpha\beta αβ,这不影响结果,只要保证 a a a对应的 α \alpha α作为积分下限, b b b对应的 β \beta β作为积分上限,就能保证结果正确 回顾不定积分的二类换元法积分公式: 通过变量代换 u ϕ ( x ) u\phi(x) uϕ(x), ∫ f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x \int{f(\phi(x))\phi(x)}\mathrm{d}x ∫f(ϕ(x))ϕ′(x)dx ∫ f ( u ) d u \int{f(u)\mathrm{d{u}}} ∫f(u)du,通过变量代换 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t),则 ∫ f ( x ) d x \int{f(x)\mathrm{d}x} ∫f(x)dx ∫ f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{f(\phi(t))}\phi(t)\mathrm{d}t ∫f(ϕ(t))ϕ′(t)dt
证明 由假设得, f ( x ) f(x) f(x), g ( t ) f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) g(t)f(\phi(t))\phi(t) g(t)f(ϕ(t))ϕ′(t)(1-1)都连续的,由连续函数原函数存在定理,这两个函数的定积分和原函数都存在,(1)式两边都可以用微积分基本公式 设 F ( x ) F(x) F(x)是 f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数(即 F ′ ( x ) f ( x ) F(x)f(x) F′(x)f(x)),由微分积分基本公式, ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)(2)设 G ( t ) G(t) G(t)是 g ( t ) g(t) g(t)的一个原函数,则 ∫ a β g ( t ) d t \int{a}^{\beta}g(t)\mathrm{d}t ∫aβ​g(t)dt G ( β ) − G ( α ) G(\beta)-G(\alpha) G(β)−G(α)欲证明(1),即证明 F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a) G ( β ) − G ( α ) G(\beta)-G(\alpha) G(β)−G(α)记复合函数: Φ ( t ) F ( ϕ ( t ) ) \Phi(t)F(\phi(t)) Φ(t)F(ϕ(t))(3)即 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)是 F ( x ) F(x) F(x)关于 t t t的表示法 F ( x ) ∣ x ϕ ( t ) F(x)|{x\phi(t)} F(x)∣xϕ(t)​,由复合函数求导法: Φ ′ ( t ) \Phi(t) Φ′(t) F ′ ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) F(\phi(t))\phi(t) F′(ϕ(t))ϕ′(t) f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi(t) f(ϕ(t))ϕ′(t) g ( t ) g(t) g(t),可见, Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)是 g ( t ) g(t) g(t)的一个原函数,由微积分基本公式,有 ∫ α β g ( t ) d t \int{\alpha}^{\beta}g(t)\mathrm{d}t ∫αβ​g(t)dt Φ ( β ) − Φ ( α ) \Phi(\beta)-\Phi(\alpha) Φ(β)−Φ(α) (4) 又由(1-1),(3),(0) ∫ α β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi(t)\mathrm{d}t ∫αβ​f(ϕ(t))ϕ′(t)dt F ( ϕ ( β ) ) − F ( ϕ ( α ) ) F(\phi(\beta))-F(\phi(\alpha)) F(ϕ(β))−F(ϕ(α)) F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a)(5) 由(2),(5): ∫ a b f ( x ) d x \int{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(x)dx F ( b ) − F ( a ) F(b)-F(a) F(b)−F(a) ∫ α β f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) d t \int{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi(t)\mathrm{d}t ∫αβ​f(ϕ(t))ϕ′(t)dt,这就是公式(1),公式成立 定积分换元公式逆用 ∫ a b f ( ϕ ( x ) ) ϕ ′ ( x ) d x \int{a}^{b}f(\phi(x))\phi(x)\mathrm{d}x ∫ab​f(ϕ(x))ϕ′(x)dx ∫ α β f ( t ) d t \int{\alpha}^{\beta}f(t)\mathrm{d}t ∫αβ​f(t)dt(6) 通过 t ϕ ( x ) t\phi(x) tϕ(x)引入新变量 t t t,而 ϕ ( a ) α \phi(a)\alpha ϕ(a)α, ϕ ( b ) β \phi(b)\beta ϕ(b)β
例 ∫ 0 a a 2 − x 2 d x \int{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x ∫0a​a2−x2 ​dx, ( a 0 ) (a0) (a0) 方法1:不定积分公式法, ∫ 0 a a 2 − x 2 d x \int{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x ∫0a​a2−x2 ​dx 1 2 ( a 2 arcsin ⁡ x a x a 2 − x 2 ) ∣ 0 a \frac{1}{2}(a^2\arcsin{\frac{x}{a}}x\sqrt{a^2-x^2})|{0}^{a} 21​(a2arcsinax​xa2−x2 ​)∣0a​ 1 2 a 2 arcsin ⁡ 1 \frac{1}{2}a^2\arcsin{1} 21​a2arcsin1 a 2 π 4 \frac{a^2\pi}{4} 4a2π​方法2:不定积分换元法:令 x a sin ⁡ t xa\sin{t} xasint,则 d x a cos ⁡ t d t \mathrm{d}xa\cos{t}\mathrm{d}t dxacostdt 积分限转化: x 0 x0 x0时, t 0 t0 t0; x a xa xa时, t π 2 t\frac{\pi}{2} t2π​ ∫ 0 a a 2 − x 2 d x \int{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x ∫0a​a2−x2 ​dx a 2 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 t d t a^2\int{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^2{t}\mathrm{d}t} a2∫02π​​cos2tdt a 2 2 ∫ 0 π 2 ( 1 cos ⁡ 2 t ) d t \frac{a^2}{2}\int{0}^{\frac{\pi}{2}}(1\cos{2t})\mathrm{d}t 2a2​∫02π​​(1cos2t)dt a 2 2 [ t 1 2 sin ⁡ 2 t ] 0 π 2 \frac{a^2}{2}[t\frac{1}{2}\sin{2t}]{0}^{\frac{\pi}{2}} 2a2​[t21​sin2t]02π​​ π a 2 4 \frac{\pi{a^2}}{4} 4πa2​ ∫ 0 π 2 cos ⁡ 5 x sin ⁡ x d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x ∫02π​​cos5xsinxdx 方法1: ∫ 0 π 2 cos ⁡ 5 x sin ⁡ x d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x ∫02π​​cos5xsinxdx − ∫ 0 5 cos ⁡ 5 x d ( cos ⁡ x ) -\int{0}^{5}\cos^{5}x\mathrm{d}(\cos{x}) −∫05​cos5xd(cosx) − 1 6 cos ⁡ 6 x ∣ 0 π 2 -\frac{1}{6}\cos^{6}x|{0}^{\frac{\pi}{2}} −61​cos6x∣02π​​ 1 6 \frac{1}{6} 61​方法:使用公式6 令 t cos ⁡ x t\cos{x} tcosx,则 d t \mathrm{d}t dt − sin ⁡ x d x -\sin{x}\mathrm{d}x −sinxdx, sin ⁡ x d x − d t \sin{x}{\mathrm{d}x}-\mathrm{d}t sinxdx−dt且 x 0 x0 x0, t 1 t1 t1;当 x π 2 x\frac{\pi}{2} x2π​, t 0 t0 t0 ∫ 0 π 2 cos ⁡ 5 x sin ⁡ x d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{5}x}\sin{x}\mathrm{d}x ∫02π​​cos5xsinxdx − ∫ 1 0 t 5 d t -\int{1}^{0}t^5\mathrm{d}t −∫10​t5dt ∫ 0 1 t 5 d t \int{0}^{1}t^5\mathrm{d}t ∫01​t5dt t 6 6 ∣ 0 1 \frac{t^6}{6}|{0}^{1} 6t6​∣01​ 1 6 \frac{1}{6} 61​ 设 f ( x ) f(x) f(x)在[0,1]上连续,则 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(sinx)dx ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(cosx)dx 方法1: ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(cosx)dx ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ ( π 2 − x ) ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin(\frac{\pi}{2}-x))\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(sin(2π​−x))dx − ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ ( π 2 − x ) ) d ( π 2 − x ) -\int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin(\frac{\pi}{2}-x))\mathrm{d}{(\frac{\pi}{2}-x)} −∫02π​​f(sin(2π​−x))d(2π​−x)令 t π 2 − x t\frac{\pi}{2}-x t2π​−x,当 x 0 x0 x0时, t π 2 t\frac{\pi}{2} t2π​; x π 2 x\frac{\pi}{2} x2π​时, t 0 t0 t0 ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(cosx)dx − ∫ π 2 0 f ( sin ⁡ t ) d t -\int{\frac{\pi}{2}}^{0}f(\sin{t})\mathrm{d}{t} −∫2π​0​f(sint)dt ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ t ) d t \int{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(\sin{t})}\mathrm{d}t ∫02π​​f(sint)dt ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(sinx)dx,等式得证 方法2: 令 x π 2 − t x\frac{\pi}{2}-t x2π​−t,则 d x \mathrm{d}x dx − d t -\mathrm{d}t −dt,且 x 0 x0 x0时 t π 2 t\frac{\pi}{2} t2π​,当 x π 2 x\frac{\pi}{2} x2π​时, t 0 t0 t0于是 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}x ∫02π​​f(sinx)dx − ∫ π 2 0 f ( sin ⁡ ( π 2 − t ) ) d t -\int{\frac{\pi}{2}}^{0}f(\sin(\frac{\pi}{2}-t))\mathrm{d}t −∫2π​0​f(sin(2π​−t))dt ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ t ) d t \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{t})\mathrm{d}t ∫02π​​f(cost)dt ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(cosx)dx
和不定积分第二类换元法的差别 用 x ϕ ( t ) x\phi(t) xϕ(t)把原来变量 x x x代换成新变量 t t t时,积分限也要换成新变量 t t t的积分限求出 f ( ϕ ( t ) ) ϕ ′ ( t ) f(\phi(t))\phi(t) f(ϕ(t))ϕ′(t)的一个原函数 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)后,不再需要像不定积分那样将 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)变换回原来的变量 x x x的函数(不要求反函数存在),只需要将 t t t的上下限 ( α , β ) (\alpha,\beta) (α,β)分别代入 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)作差即可 定积分分部积分法 ∫ a b u ( x ) v ′ ( x ) d x \int{a}^{b}u(x)v(x)\mathrm{d}x ∫ab​u(x)v′(x)dx [ ∫ u ( x ) v ′ ( x ) d x ] a b [\int u(x)v(x)\mathrm{d}x]{a}^{b} [∫u(x)v′(x)dx]ab​ [ u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u ′ ( x ) d x ] a b [u(x)v(x)-\int{v(x)}{u(x)}\mathrm{d}x]{a}^{b} [u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx]ab​ [ u ( x ) v ( x ) ] a b − ∫ a b v ( x ) u ′ ( x ) d x [u(x)v(x)]{a}^{b}-\int{a}^{b}{v(x)}{u(x)}\mathrm{d}x [u(x)v(x)]ab​−∫ab​v(x)u′(x)dx简记为 ∫ a b u v ′ d x \int{a}^{b}uv\mathrm{d}x ∫ab​uv′dx [ u v ] a b − ∫ a b v u ′ d x [uv]{a}^{b}-\int{a}^{b}{vu\mathrm{d}x} [uv]ab​−∫ab​vu′dx或 ∫ a b u d v \int{a}^{b}u\mathrm{d}v ∫ab​udv [ u v ] a b − ∫ a b v d u [uv]{a}^{b}-\int_{a}^{b}v\mathrm{d}u [uv]ab​−∫ab​vdu公式表明,原函数已经积出的部分可以先用上下限代入,尽快简化算式 例 求证: I n In In​ ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}{x} ∫02π​​sinnxdx ∫ 0 π 2 cos ⁡ n x d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\mathrm{d}x ∫02π​​cosnxdx n − 1 n ⋅ n − 3 n − 2 ⋯ 3 4 1 2 π 2 \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} nn−1​⋅n−2n−3​⋯43​21​2π​, n n n为偶数 n − 1 n n − 3 n − 2 ⋯ 4 5 2 3 \frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3} nn−1​n−2n−3​⋯54​32​, n n n为大于1的正奇数 证明: I n In In​ ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\mathrm{d}{x} ∫02π​​sinnxdx − ∫ 0 π 2 sin ⁡ n − 1 x d ( cos ⁡ x ) -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-1}x\mathrm{d}{(\cos{x})} −∫02π​​sinn−1xd(cosx) 由分部积分公式: I n In In​ [ − cos ⁡ sin ⁡ n − 1 x ] 0 π 2 [-\cos\sin^{n-1}x]{0}^{\frac{\pi}{2}} [−cossinn−1x]02π​​ ∫ 0 π 2 cos ⁡ x d ( sin ⁡ n − 1 x ) \int{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{x}\mathrm{d}{(\sin^{n-1}x)} ∫02π​​cosxd(sinn−1x) 0 ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 x ( sin ⁡ n − 2 x ) d x 0(n-1)\int{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2{x}{(\sin^{n-2}x)}\mathrm{d}x 0(n−1)∫02π​​cos2x(sinn−2x)dx ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 ( 1 − sin ⁡ 2 x ) sin ⁡ n − 2 x d x (n-1)\int{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2{x}){\sin^{n-2}x}\mathrm{d}x (n−1)∫02π​​(1−sin2x)sinn−2xdx ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 ( sin ⁡ n − 2 x ) d x (n-1)\int{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin^{n-2}x)}\mathrm{d}x (n−1)∫02π​​(sinn−2x)dx- ( n − 1 ) ∫ 0 π 2 sin ⁡ n x d x (n-1)\int{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^{n}x}\mathrm{d}x (n−1)∫02π​​sinnxdx ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n (n-1)I{n-2}-(n-1)I_n (n−1)In−2​−(n−1)In​(0) 移项: n I n ( n − 1 ) I n − 2 nIn(n-1)I{n-2} nIn​(n−1)In−2​,从而 I n n − 1 n I n − 2 In\frac{n-1}{n}I{n-2} In​nn−1​In−2​(1)式(2)称为 I n In In​关于 n n n的递推公式 将 n n n替换为 n − 2 n-2 n−2,则由(1)得 I n − 2 n − 3 n − 2 I n − 4 I{n-2}\frac{n-3}{n-2}I{n-4} In−2​n−2n−3​In−4​, ⋯ \cdots ⋯ 类似的递推下去,知道 I n I{n} In​下标递减至0或1为止: n 2 n2 n2时,最终为 I 2 1 2 I 0 I_{2}\frac{1}{2}I_0 I2​21​I0​, n 3 n3 n3时,最终为 I 3 2 3 I 1 I3\frac{2}{3}I{1} I3​32​I1​ I 0 ∫ 0 π 2 d x I{0}\int{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}x I0​∫02π​​dx π 2 \frac{\pi}{2} 2π​; I 1 ∫ 0 π 2 sin ⁡ x d x I1\int{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\mathrm{d}x I1​∫02π​​sinxdx1(3) 所以,由(1) I 2 m I_{2m} I2m​ 2 m − 1 2 m 2 m − 3 2 m − 2 ⋯ 3 4 1 2 I 0 \frac{2m-1}{2m}\frac{2m-3}{2m-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{1}{2}I0 2m2m−1​2m−22m−3​⋯43​21​I0​(4-1) I 2 m 1 I{2m1} I2m1​ 2 m 2 m 1 2 m − 2 2 m − 1 ⋯ 4 5 2 3 I 1 \frac{2m}{2m1}\frac{2m-2}{2m-1}\cdots\frac{4}{5}\frac{2}{3}I1 2m12m​2m−12m−2​⋯54​32​I1​(4-2)代入等式组(3),结合 ∫ 0 π 2 f ( sin ⁡ x ) d x \int{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\sin{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(sinx)dx ∫ 0 π 2 f ( cos ⁡ x ) d x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(\cos{x})\mathrm{d}{x} ∫02π​​f(cosx)dx,即欲证结论得证