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创建网站用什么语言,襄阳网站建设公司,义乌比较好的外贸公司,seo优化专员一. 随机变量 随机变量是一个从样本空间 Ω \Omega Ω到实数空间 R R R的函数#xff0c;比如随机变量 X X X可以表示投骰子的点数。随机变量一般可以分为两类#xff1a; 离散型随机变量#xff1a;随机变量的取值为有限个。连续型随机变量#xff1a;随机变量的取值是连…一. 随机变量 随机变量是一个从样本空间 Ω \Omega Ω到实数空间 R R R的函数比如随机变量 X X X可以表示投骰子的点数。随机变量一般可以分为两类 离散型随机变量随机变量的取值为有限个。连续型随机变量随机变量的取值是连续的有无限多个。 scipy.stat模块中包含了多种概率分布的随机变量,包含离散型随机变量和连续型随机变量。离散型随机变量的常见接口如下 方法名功能rvs生成该分布的随机序列pmf概率质量函数cdf累计概率分布函数stats计算该分布的均值方差偏度峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)] 连续型随机变量的常见接口如下 方法名功能rvs生成该分布的随机序列pdf概率密度函数cdf累计概率分布函数stats计算该分布的均值方差偏度峰度。[Mean(‘m’), variance(‘v’), skew(‘s’), kurtosis(‘k’)] 二. 常见离散分布

1. 二项分布 如果随机变量 X X X的分布律为 P ( X k ) C n k p k q n − k k 0 , 1 , … n P(Xk) C^k_np^kq^{n-k}k 0,1,…n P(Xk)Cnk​pkqn−kk0,1,…n其中 p q 1 p q 1 pq1 ,则称 X X X服从参数为 n , p n,p n,p的二项分布记为 X ∼ B ( n , p ) X \sim B(n,p) X∼B(n,p)。 期望 E ( X ) n p E(X) np E(X)np方差: D ( X ) n p ( 1 − p ) D(X) np(1 - p) D(X)np(1−p) 画出不同参数下的二项分布 n , p n, p n,p分别为 ( 10 0.3 ) , 10 0.5 , 10 0.7 (100.3),100.5,100.7 (100.3),100.5,100.7 import numpy as np from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)]for i in range(len(params)):n params[i][0]p params[i][1]x np.arange(0, n 1)y binom(n, p).pmf(x)# 计算随机变量的期望,方差mean, var binom.stats(n, p, momentsmv)ax[i].scatter(x, y, color blue, marker o)ax[i].set_title(n {}, p {}.format(n, p))ax[i].set_xticks(x)ax[i].text(1, 0.2, 期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}.format(mean, var))ax[i].grid()plt.show()运行结果 生成服从不同参数二项分布的随机数组(采样100000次)然后查看数组的频率分布 import numpy as np from scipy.stats import binom import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [(10, 0.3), (10, 0.5), (10, 0.7)]for i in range(len(params)):n params[i][0]p params[i][1]x np.arange(0, 11)# 抽样10万次sample binom.rvs(n n, p p, size 100000)print(sample)ax[i].hist(sample, color blue, densityTrue, bins 50)ax[i].set_title(n {}, p {}.format(n, p))ax[i].set_xticks(x)ax[i].grid()plt.show()运行结果
   
2. 几何分布 若随机变量 X X X的分布律为 P ( X k ) ( 1 − p ) k − 1 p k 1 , 2 , … P(X k) (1 - p)^{k - 1}pk 1, 2, … P(Xk)(1−p)k−1pk1,2,…其中 0 p 1 0 p 1 0p1,则称 X X X服从参数为 p p p的几何分布记为 X ∼ G e ( p ) X \sim Ge(p) X∼Ge(p)。 期望 E ( X ) 1 p E(X) \frac{1}{p} E(X)p1​方差 D ( X ) 1 − p p 2 D(X) \frac{1 - p}{p^2} D(X)p21−p​ 画出不同参数下的几何分布 p p p分别为 ( 0.3 0.5 0.7 ) (0.30.50.7) (0.30.50.7) import numpy as np from scipy.stats import geom import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [0.3,0.5,0.7]for i in range(len(params)):p params[i]x np.arange(1, 15)y geom(p p).pmf(x)print(y)# 计算随机变量的期望,方差mean, var geom.stats(p p, momentsmv)ax[i].scatter(x, y, color blue, marker o)ax[i].set_title(p {}.format(p))ax[i].set_xticks(x)ax[i].text(5, 0.2, 期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}.format(mean, var))ax[i].grid()plt.show()运行结果 生成服从不同参数几何分布的随机数组(采样100000次)然后查看数组的频率分布 import numpy as np from scipy.stats import geom import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [0.3, 0.5, 0.7]for i in range(len(params)):p params[i]x np.arange(0, 15)# 抽样sample geom.rvs(p p, size 100000)print(sample)ax[i].hist(sample, color blue, densityTrue, bins 50)ax[i].set_title(p {}.format(p))ax[i].set_xlim(0,15)ax[i].set_xticks(x)ax[i].grid()plt.show()运行结果
   
3. 泊松分布 若随机变量 X X X的分布律为 P ( X k ) λ k k ! e − λ k 0 , 1 , 2… P(Xk) \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}k 0, 1, 2 … P(Xk)k!λk​e−λk0,1,2…其中 λ 0 \lambda 0 λ0则称 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布记为 X ∼ P ( λ ) X \sim P(\lambda) X∼P(λ)。 期望 E ( X ) λ E(X) \lambda E(X)λ方差 D ( X ) λ D(X) \lambda D(X)λ 画出不同参数下的泊松分布 λ \lambda λ分别为 ( 2 , 6 , 8 ) (2,6,8) (2,6,8) import numpy as np from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [2,6,8]for i in range(len(params)):numda params[i]x np.arange(1, 15)y poisson(numda).pmf(x)# 计算随机变量的期望,方差mean, var poisson.stats(numda, momentsmv)ax[i].scatter(x, y, color blue, marker o)ax[i].set_title(lambda {}.format(numda))ax[i].set_xticks(x)ax[i].set_yticks([0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4])ax[i].text(5, 0.2, 期望: {:.2f}\n方差: {:.2f}.format(mean, var))ax[i].grid()plt.show()运行结果 生成服从不同参数泊松分布的随机数组(采样100000次)然后查看数组的频率分布 import numpy as np from scipy.stats import poisson import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 10))# 调整子图间距fig.subplots_adjust(hspace 0.5)params [2, 6, 8]for i in range(len(params)):numda params[i]x np.arange(0, 16)# 抽样sample poisson.rvs(numda, size 1000000)print(sample)ax[i].hist(sample, color blue, densityTrue, bins 50)ax[i].set_title(lamdba {}.format(numda))ax[i].set_xticks(x)ax[i].set_xlim(0, 16)ax[i].grid()plt.show()运行结果
   三. 常见连续分布
4. 正太分布 若随机变量 X X X的概率密度函数为 f ( x ) 1 2 π δ e − ( x − μ ) 2 2 δ 2 ( − ∞ x ∞ ) f(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\delta}e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2\delta^2}}( -\infty x \infty) f(x)2π ​δ1​e−2δ2(x−μ)2​(−∞x∞)则称 X X X服从参数为 ( μ δ 2 ) (\mu\delta^2) (μδ2)的正太分布记为 X ∼ N ( μ δ 2 ) X \sim N(\mu\delta^2) X∼N(μδ2)。当 μ 0 δ 1 \mu 0\delta 1 μ0δ1时称 X X X服从标准正太分布。 期望 E ( X ) μ E(X) \mu E(X)μ方差 D ( X ) δ 2 D(X) \delta^2 D(X)δ2 画出不同参数下的正太分布 μ δ \mu\delta μδ分别为 ( 0 , 1 ) , ( 0 , 3 ) (0, 1), (0, 3) (0,1),(0,3) import numpy as np from scipy.stats import norm import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(figsize(10, 8))params [(0, 1, red), (0, 3, blue)]x np.linspace(-20, 20, 1000)for i in range(0, len(params)):loc params[i][0]scale params[i][1]color params[i][2]mean, var norm.stats(loc, scale, momentsmv)ax.plot(x, norm(loc loc, scale scale).pdf(x), color color, label loc{},scale{},均值{},方差{}.format(loc, scale,mean,var))ax.set_xticks(np.arange(-20, 21))ax.grid()ax.legend()plt.show()运行结果 生成服从不同参数正太分布的随机数组(采样100000次)然后查看数组的频率分布 import numpy as np from scipy.stats import norm import matplotlib.pyplot as pltplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(2, 1, figsize(10, 8))params [(0, 1, red), (0, 3, blue)]x np.linspace(-20, 20, 1000)# 采样for i in range(0, len(params)):loc params[i][0]scale params[i][1]color params[i][2]# 画出分布图ax[i].plot(x, norm(loc loc, scale scale).pdf(x), color color, label loc{},scale{}.format(loc, scale))# 画出随机抽样的频率分布直方图ax[i].hist(norm(loc loc, scale scale).rvs(size 100000), densityTrue, bins 100)ax[i].set_xticks(np.arange(-20, 21))ax[i].grid()ax[i].legend()plt.show()运行结果
   
5. 指数分布 若随机变量 X X X的概率密度函数为 f ( x ) { λ e − λ x x ≥ 0 0 x 0 ( λ 0 ) f(x) \begin{cases} {\lambda}e^{-{\lambda}x} x \ge 0\0 x 0\end{cases} (\lambda 0) f(x){λe−λx0​x≥0x0​(λ0)则称 X X X服从参数为 λ \lambda λ的指数分布记为 X ∼ E ( λ ) X \sim E(\lambda) X∼E(λ)。 期望 E ( X ) 1 λ E(X) \frac{1}{\lambda} E(X)λ1​方差 D ( X ) 1 λ 2 D(X) \frac{1}{{\lambda}^2} D(X)λ21​ scipy中指数分布expon的参数传入 λ \lambda λ的倒数。 A common parameterization for expon is in terms of the rate parameter lambda, such that pdf lambda * exp(-lambda * x). This parameterization corresponds to using scale 1 / lambda. 画出不同参数下的指数分布 λ \lambda λ分别为 ( 0.5 , 1 , 1.5 ) (0.5,1,1.5) (0.5,1,1.5) import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import exponplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(figsize (10, 8))params [(0.5, red), (1, blue), (1.5, green)]x np.linspace(0, 15, 1000)for i in range(0, len(params)):numda params[i][0]color params[i][1]mean, var expon.stats(loc 0, scale 1 / numda, momentsmv)ax.plot(x, expon(scale 1 / numda).pdf(x), color color, label lambda {:.2f}, 均值:{:.2f}, 方差: {:.4f}.format(numda, mean, var))ax.grid()ax.legend()plt.show()运行结果 生成服从不同参数指数分布的随机数组(采样100000次)然后查看数组的频率分布 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from scipy.stats import exponplt.rcParams[font.family] SimHei # 设置字体 plt.rcParams[axes.unicode_minus] False # 正常显示负号if name main:fig, ax plt.subplots(3, 1, figsize (10, 8))params [(0.5, red), (1, blue), (1.5, green)]x np.linspace(0, 15, 1000)# 采样for i in range(0, len(params)):numda params[i][0]color params[i][1]ax[i].plot(x, expon(scale 1/numda).pdf(x), color color, label lambda{}.format(numda))ax[i].hist(expon(scale 1/numda).rvs(size 10000), densityTrue, bins 100)ax[i].set_xticks(np.arange(0, 15))ax[i].set_xlim(0, 15)ax[i].grid()ax[i].legend()plt.show() 运行结果