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微信商城网站如何做,凡科建站免费,怎样创建网站或者网址,个人可以架设网站吗已知a,b,c三点求过这三点的圆心坐标 a ( x 1 , y 1 ) a(x_1, y_1) a(x1​,y1​) 、 b ( x 2 , y 2 ) b(x_2, y_2) b(x2​,y2​) 、 c ( x 3 , y 3 ) c(x_3, y_3) c(x3​,y3​) 确认三点是否共线 叉积计算方式 v → ( X 1 , Y 1 ) u → ( X 2 , Y 2 ) X 1 Y 2 − X 2 Y 1 \…已知a,b,c三点求过这三点的圆心坐标 a ( x 1 , y 1 ) a(x_1, y_1) a(x1​,y1​) 、 b ( x 2 , y 2 ) b(x_2, y_2) b(x2​,y2​) 、 c ( x 3 , y 3 ) c(x_3, y_3) c(x3​,y3​) 确认三点是否共线 叉积计算方式 v → ( X 1 , Y 1 ) × u → ( X 2 , Y 2 ) X 1 Y 2 − X 2 Y 1 \overrightarrow{v}(X_1, Y_1) \times \overrightarrow{u}(X_2, Y_2) X_1Y_2 - X_2Y_1 v (X1​,Y1​)×u (X2​,Y2​)X1​Y2​−X2​Y1​ 使用叉积判断三个点是否共线 a b → ( ( x 2 − x 1 ) , ( y 2 − y 1 ) ) a c → ( ( x 3 − x 1 ) , ( y 3 − y 1 ) ) \overrightarrow{ab} ((x_2- x_1) , (y_2- y_1)) \ \overrightarrow{ac} ((x_3- x_1) , (y_3- y_1)) ab ((x2​−x1​),(y2​−y1​))ac ((x3​−x1​),(y3​−y1​)) 带入上方可到的 v a l u e ( x 2 − x 1 ) ( y 3 − y 1 ) − ( x 3 − x 1 ) ( y 2 − y 1 ) v a l u e x 2 y 3 − x 2 y 1 − x 1 y 3 x 1 y 1 − x 3 y 2 x 3 y 1 x 1 y 2 − x 1 y 1 \begin{aligned} value (x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1) \ value x_2y_3 - x_2y_1-x_1y_3x_1y_1-x_3y_2x_3y_1x_1y_2-x_1y_1 \ \end{aligned} valuevalue​(x2​−x1​)(y3​−y1​)−(x3​−x1​)(y2​−y1​)x2​y3​−x2​y1​−x1​y3​x1​y1​−x3​y2​x3​y1​x1​y2​−x1​y1​​ 整合后得到 v a l u e x 1 ( y 2 − y 3 ) x 2 ( y 3 − y 1 ) x 3 ( y 1 − y 2 ) value x_1(y_2-y_3)x_2(y_3-y_1)x_3(y_1-y_2) valuex1​(y2​−y3​)x2​(y3​−y1​)x3​(y1​−y2​) { v a l u e 0 点 b 在 a c → 右边 v a l u e 0 点 b 在 a c → 左边 v a l u e 0 三点共线 \begin{cases} value 0 点b在\overrightarrow{ac}右边\ value 0 点b在\overrightarrow{ac}左边\ value 0 三点共线 \ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​valuevaluevalue​000​点b在ac 右边点b在ac 左边三点共线​ 不共线的三点才可以确认一个圆 三点求解圆心 已知圆的方程为 ( x − x 0 ) 2 ( y − y 0 ) 2 r 2 (x-x_0)^2(y-y_0)^2r^2 (x−x0​)2(y−y0​)2r2 假设圆心坐标为 O ( a , b ) O(a,b) O(a,b)带入三点可以得到下列方程 { ( x 1 − a ) 2 ( y 1 − b ) 2 r 2 ① ( x 2 − a ) 2 ( y 2 − b ) 2 r 2 ② ( x 3 − a ) 2 ( y 3 − b ) 2 r 2 ③ \begin{cases} (x_1 - a)^2(y_1 - b)^2r^2 ①\ (x_2 - a)^2(y_2 - b)^2r^2 ②\ (x_3 - a)^2(y_3 - b)^2r^2 ③\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​(x1​−a)2(y1​−b)2r2(x2​−a)2(y2​−b)2r2(x3​−a)2(y3​−b)2r2​①②③​ 拆解后可得 { x 1 2 − 2 x 1 a a 2 y 1 2 − 2 y 1 b b 2 r 2 ① x 2 2 − 2 x 2 a a 2 y 2 2 − 2 y 2 b b 2 r 2 ② x 3 2 − 2 x 3 a a 2 y 3 2 − 2 y 3 b b 2 r 2 ③ \begin{cases} x_1^2 - 2x_1aa^2 y_1^2-2y_1bb^2r^2 ①\ x_2^2 - 2x_2aa^2 y_2^2-2y_2bb^2r^2 ②\ x_3^2 - 2x_3aa^2 y_3^2-2y_3bb^2r^2 ③\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x12​−2x1​aa2y12​−2y1​bb2r2x22​−2x2​aa2y22​−2y2​bb2r2x32​−2x3​aa2y32​−2y3​bb2r2​①②③​ 使用①-②②-③。构造两个方程组 { a ( x 2 − x 1 ) b ( y 2 − y 1 ) ( x 2 2 y 2 2 ) − ( x 1 2 y 1 2 ) 2 ① − ② a ( x 3 − x 2 ) b ( y 3 − y 2 ) ( x 3 2 y 3 2 ) − ( x 2 2 y 2 2 ) 2 ② − ③ \begin{cases} a(x_2-x_1)b(y_2-y_1)\frac{(x_2^2y_2^2)-(x_1^2y_1^2)}{2} ①-②\ a(x_3-x_2)b(y_3-y_2)\frac{(x_3^2y_3^2)-(x_2^2y_2^2)}{2} ②-③\ \end{cases} {a(x2​−x1​)b(y2​−y1​)2(x22​y22​)−(x12​y12​)​a(x3​−x2​)b(y3​−y2​)2(x32​y32​)−(x22​y22​)​​①−②②−③​ 我们可以给计算方程简化一下 A 1 x 2 − x 1 B 1 y 2 − y 1 A 2 x 3 − x 2 B 2 y 3 − y 2 C 1 ( x 2 2 y 2 2 ) − ( x 1 2 y 1 2 ) 2 C 2 ( x 3 2 y 3 2 ) − ( x 2 2 y 2 2 ) 2 \begin{aligned} A_1 x_2-x_1 \ B_1 y_2-y_1 \ A_2 x_3-x_2 \ B_2 y_3-y_2 \ C_1 \frac{(x_2^2y_2^2)-(x_1^2y_1^2)}{2} \ C_2 \frac{(x_3^2y_3^2)-(x_2^2y_2^2)}{2} \ \end{aligned} A1​B1​A2​B2​C1​C2​​x2​−x1​y2​−y1​x3​−x2​y3​−y2​2(x22​y22​)−(x12​y12​)​2(x32​y32​)−(x22​y22​)​​ 则可的方程组 A 1 a B 1 b C 1 A 2 a B 2 b C 2 A_1aB_1bC_1 \ A_2aB_2bC_2 \ A1​aB1​bC1​A2​aB2​bC2​ 使用矩阵求解这个方程组 ( A 1 B 1 A 2 B 2 ) ( a b ) ( C 1 C 2 ) \begin{pmatrix} A_1 B_1 \ A_2 B_2 \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \ C_2 \ \end{pmatrix} (A1​A2​​B1​B2​​)(ab​)(C1​C2​​) 可得 ( a b ) 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 ( B 2 − B 1 − A 2 A 1 ) ( C 1 C 2 ) \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} \frac{1}{ A_1B_2-A_2B_1 } \begin{pmatrix} B_2 -B_1 \ -A_2 A_1 \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \ C_2 \ \end{pmatrix} (ab​)A1​B2​−A2​B1​1​(B2​−A2​​−B1​A1​​)(C1​C2​​) ( a b ) ( B 2 A 1 B 2 − A 2 B 1 − B 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 − A 2 A 1 B 2 − A 2 B 1 A 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 ) ( C 1 C 2 ) ( B 2 C 1 − B 1 C 2 A 1 B 2 − A 2 B 1 A 1 C 2 − A 2 C 1 A 1 B 2 − A 2 B 1 ) \begin{pmatrix} a \ b \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{B_2}{A_1B_2-A_2B_1} \frac{-B_1}{A_1B_2-A_2B_1} \ \frac{-A_2}{A_1B_2-A_2B_1} \frac{A_1}{A_1B_2-A_2B_1} \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1 \ C_2 \ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{B_2C_1-B_1C_2}{A_1B_2-A_2B_1}\ \frac{A_1C_2-A_2C_1}{A_1B_2-A_2B_1}\ \end{pmatrix} (ab​)(A1​B2​−A2​B1​B2​​A1​B2​−A2​B1​−A2​​​A1​B2​−A2​B1​−B1​​A1​B2​−A2​B1​A1​​​)(C1​C2​​)(A1​B2​−A2​B1​B2​C1​−B1​C2​​A1​B2​−A2​B1​A1​C2​−A2​C1​​​) 这样我们就得到了圆心 O ( a , b ) O(a,b) O(a,b)的坐标同时我们也发现了一个很奇特的现象 上面再做共线条判断的时候我们求了叉积 v a l u e x 1 ( y 2 − y 3 ) x 2 ( y 3 − y 1 ) x 3 ( y 1 − y 2 ) value x_1(y_2-y_3)x_2(y_3-y_1)x_3(y_1-y_2) valuex1​(y2​−y3​)x2​(y3​−y1​)x3​(y1​−y2​) 而我们求解的a,b的分母我带入后会发现 A 1 B 2 − A 2 B 1 x 1 ( y 2 − y 3 ) x 2 ( y 3 − y 1 ) x 3 ( y 1 − y 2 ) A_1B_2-A_2B_1 x_1(y_2-y_3)x_2(y_3-y_1)x_3(y_1-y_2) A1​B2​−A2​B1​x1​(y2​−y3​)x2​(y3​−y1​)x3​(y1​−y2​) 是不是很玄学hhhhh,有知道原理的大佬欢迎评论区解答。 代码实现 typedef struct _GL2_fPoint {float x;float y; } GL2_fPoint;// 计算通过三点的圆的圆心和半径 bool circle_from_three_points(const GL2_fPoint p1, const GL2_fPoint p2, const GL2_fPoint p3, float cx, float cy, float r) {float x1 p1.x, y1 p1.y;float x2 p2.x, y2 p2.y;float x3 p3.x, y3 p3.y;float A x1 * (y2 - y3) x2 * (y3 - y1) x3 * (y1 - y2);if (std::abs(A) 1e-6f) {return false;}float B (x1 * x1 y1 * y1) * (y3 - y2) (x2 * x2 y2 * y2) * (y1 - y3) (x3 * x3 y3 * y3) * (y2 - y1);float C (x1 * x1 y1 * y1) * (x2 - x3) (x2 * x2 y2 * y2) * (x3 - x1) (x3 * x3 y3 * y3) * (x1 - x2);float D (x1 * x1 y1 * y1) * (x3 * y2 - x2 * y3) (x2 * x2 y2 * y2) * (x1 * y3 - x3 * y1) (x3 * x3 y3 * y3) * (x2 * y1 - x1 * y2);cx -B / (2 * A);cy -C / (2 * A);r std::sqrt((x1 - cx) * (x1 - cx) (y1 - cy) * (y1 - cy));return true; }