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网站建设创意广告词,巴西网站后缀,七宝做网站,义乌网站建设公司排名文章目录版权声明排列行列式行列式的由来行列式的概念行列式的性质重要公式克拉默法则补充知识版权声明 本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。 排列 由1,2,…,n1,2,\ldots,n1,2,…,n组成的有序数组称为一个nnn阶排列#xff0c;通常使用j1j2…jnj_1j_2\ldots … 文章目录版权声明排列行列式行列式的由来行列式的概念行列式的性质重要公式克拉默法则补充知识版权声明 本文大部分内容皆来自李永乐老师考研教材和视频课。 排列 由1,2,…,n1,2,\ldots,n1,2,…,n组成的有序数组称为一个nnn阶排列通常使用j1j2…jnj_1j_2\ldots j_nj1​j2​…jn​表示nnn阶排列。例如 j1j2j3j49527j_1j_2j_3j_49527j1​j2​j3​j4​9527 在排列中如果一个大的数排在了一个小的数前面就称这两个数构成了一个逆序。一个排列逆序的总数称为这个排列的逆序数。通常用τ(j1j2…jn)\tau(j_1j_2\ldots j_n)τ(j1​j2​…jn​)表示排列j1j2…jnj_1j_2\ldots j_nj1​j2​…jn​的逆序数。例如 τ(9527)4\tau(9527)4τ(9527)4 如果一个排列的逆序数是偶数则称这个排列是偶排列。如果一个排列的逆序数是奇数则称这个排列是奇排列。 对换是指交换排列中任意两个元素的位置。 如果对一个排列进行奇数次对换那么将改变排列的奇偶性。如果对一个排列进行偶数次对换那么将不会改变排列的奇偶性。 一个nnn阶排列经过对换可以得到n!n!n!个不同的排列并且在这n!n!n!个不同的排列中奇偶排列各占一半。 行列式 行列式的由来 现有一二元一次方程组 {a1xb1yc1(1)a2xb2yc2(2)\begin{cases} a_1xb_1yc_1(1)\ a_2xb_2yc_2(2) \end{cases}{a1​xb1​yc1​(1)a2​xb2​yc2​(2)​ 欲求xxx由(1)×b2−(2)×b1(1)\times b_2-(2)\times b_1(1)×b2​−(2)×b1​得 (a1b2−a2b1)xc1b2−c2b1(a_1b_2-a_2b_1)xc_1b_2-c_2b_1(a1​b2​−a2​b1​)xc1​b2​−c2​b1​ 在研究方程组求解的过程中数学家发现两个数相乘减两个数相乘是回避不掉的于是数学家将这一过程单独提炼出来并写成以下形式 ∣a1b1a2b2∣x∣c1b1c2b2∣\begin{vmatrix} a_1b_1\ a_2b_2 \end{vmatrix}x \begin{vmatrix} c_1b_1\ c_2b_2 \end{vmatrix} ​a1​a2​​b1​b2​​​x​c1​c2​​b1​b2​​​ 当 ∣a1b1a2b2∣a1b2−a2b1≠0\begin{vmatrix} a_1b_1\ a_2b_2 \end{vmatrix}a_1b_2-a_2b_1\neq0 ​a1​a2​​b1​b2​​​a1​b2​−a2​b1​0 时xxx有唯一解 x∣c1b1c2b2∣∣a1b1a2b2∣x\frac{\begin{vmatrix} c_1b_1\ c_2b_2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_1b_1\ a_2b2 \end{vmatrix}} x​a1​a2​​b1​b2​​​​c1​c2​​b1​b2​​​​ 那么就将∣abcd∣\begin{vmatrix}ab\cd\end{vmatrix}​ac​bd​​这种形式的数称为行列式。 行列式的概念 行列式是不同行不同列nnn个元素乘积的代数和 ∣A∣∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣∑j1j2…jn(−1)τ(j1j2…jn)a1j1a2j2…anjn|A|\begin{vmatrix}a{11} a{12}\ldotsa{1n}\a{21} a{22}\ldotsa{2n}\\vdots\vdots\vdots\a{n1}a{n2}\ldotsa{nn}\end{vmatrix}\sum_{j_1j_2\ldots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\ldots jn)}a{1j1}a{2j2}\dots a{nj_n} ∣A∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​………​a1n​a2n​⋮ann​​​​j1​j2​…jn​∑​(−1)τ(j1​j2​…jn​)a1j1​​a2j2​​…anjn​​ 这个式子称为行列式∣A∣|A|∣A∣的nnn阶完全展开式共有n!n!n!项。 对于二阶三阶行列式有对角线法则 2阶行列式∣abcd∣ad−bc\begin{vmatrix}ab\cd\end{vmatrix}ad-bc​ac​bd​​ad−bc3阶行列式 ∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣a1b2c3a2b3c1a3b1c2−a3b2c1−a2b1c3−a1b3c2\begin{vmatrix}a_1a_2a_3\b_1b_2b_3\c_1c_2c_3\end{vmatrix}a_1b_2c_3a_2b_3c_1a_3b_1c_2-a_3b_2c_1-a_2b_1c_3-a_1b_3c2 ​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​​a1​b2​c3​a2​b3​c1​a3​b1​c2​−a3​b2​c1​−a2​b1​c3​−a1​b3​c2​ 行列式的转置转置是指将行列式的行和列互换。行列式∣A∣|A|∣A∣的转置行列式记为∣AT∣|A^T|∣AT∣。余子式和代数余子式将行列式的第iii行和第jjj列去掉那么剩下的行列式就是aija{ij}aij​的余子式记为MijM{ij}Mij​并记Aij(−1)ijMijA{ij}(-1)^{ij}M{ij}Aij​(−1)ijMij​为aija{ij}aij​的代数余子式。 行列式的性质 经转置行列式的值不变即∣AT∣∣A∣|A^T||A|∣AT∣∣A∣某行有公因式kkk可把公因式kkk提到行列式外。 ∣…………kai1kai2…kain…………∣k∣…………ai1ai2…ain…………∣\begin{vmatrix} \dots\dots\dots\dots\ ka{i1}ka{i2}\dotska{in}\ \dots\dots\dots\dots \end{vmatrix} k\begin{vmatrix} \dots\dots\dots\dots\ a{i1}a{i2}\dotsa{in}\ \dots\dots\dots\dots \end{vmatrix} ​…kai1​…​…kai2​…​………​…kain​…​​​k​…ai1​…​…ai2​…​………​…ain​…​​​ 特别的某行元素全为零则行列式为000。对换行列式某两行的位置行列式变号。特别的 两行相等行列式为000即∣A∣−∣A∣,∣A∣0|A|-|A|,|A|0∣A∣−∣A∣,∣A∣0两行成比例行列式为000即k∣A∣−k∣A∣,∣A∣0k|A|-k|A|,|A|0k∣A∣−k∣A∣,∣A∣0 某行所有元素都是两个数的和则可写成两个行列式之和。∣a1b1a2b2a3b3c1c2c3d1d2d3∣∣a1a2a3c1c2c3d1d2d3∣∣b1b2b3c1c2c3d1d2d3∣\begin{vmatrix}a_1b_1a_2b_2a_3b_3\c_1c_2c_3\d_1d_2d_3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_1a_2a_3\c_1c_2c_3\d_1d_2d_3\end{vmatrix}\begin{vmatrix}b_1b_2b_3\c_1c_2c_3\d_1d_2d_3\end{vmatrix}​a1​b1​c1​d1​​a2​b2​c2​d2​​a3​b3​c3​d3​​​​a1​c1​d1​​a2​c2​d2​​a3​c3​d3​​​​b1​c1​d1​​b2​c2​d2​​b3​c3​d3​​​行列式某行的kkk倍加至另一行行列式不变。 ∣a1kb1a2kb2a3kb3b1b2b3c1c2c3∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣k∣b1b2b3b1b2b3c1c2c3∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣\begin{vmatrix} a_1kb_1a_2kb_2a_3kb_3\ b_1b_2b_3\ c_1c_2c_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_1a_2a_3\ b_1b_2b_3\ c_1c_2c_3 \end{vmatrix} {}k \begin{vmatrix} b_1b_2b_3\b_1b_2b_3\c_1c_2c_3 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} a_1a_2a_3\ b_1b_2b_3\ c_1c_2c3 \end{vmatrix} ​a1​kb1​b1​c1​​a2​kb2​b2​c2​​a3​kb3​b3​c3​​​​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​​k​b1​b1​c1​​b2​b2​c2​​b3​b3​c3​​​​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​​按行按列展开式 按iii行展开∣A∣ai1Ai1ai2Ai2…ainAin∑j1naijAij|A|a{i1}A{i1}a{i2}A{i2}\ldotsa{in}A{in}\sum{j1}^na{ij}A{ij}∣A∣ai1​Ai1​ai2​Ai2​…ain​Ain​j1∑n​aij​Aij​按jjj列展开∣A∣a1jA1ja2jA2j…anjAnj∑i1naijAij|A|a{1j}A{1j}a{2j}A{2j}\ldotsa{nj}A{nj}\sum{i1}^na{ij}A{ij}∣A∣a1j​A1j​a2j​A2j​…anj​Anj​i1∑n​aij​Aij​ 某一行列的所有元素与另一行列相应元素的代数余子式乘积之和等于000 a11A31a12A32a13A330a{11}A{31}a{12}A{32}a{13}A{33}0\ a11​A31​a12​A32​a13​A33​0 证明已知 ∣A∣∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣|A| \begin{vmatrix} a{11}a{12}a{13}\ a{21}a{22}a{23}\ a{31}a{32}a{33} \end{vmatrix} ∣A∣​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​​ 构造以下行列式 ∣B∣∣a11a12a13a21a22a23a11a12a13∣0a11A31a12A32a13A33|B| \begin{vmatrix} a{11}a{12}a{13}\ a{21}a{22}a{23}\ a{11}a{12}a{13} \end{vmatrix} 0 a{11}A{31}a{12}A{32}a{13}A{33} ∣B∣​a11​a21​a11​​a12​a22​a12​​a13​a23​a13​​​0a11​A31​a12​A32​a13​A33​ 因为∣B∣|B|∣B∣的A31A{31}A31​A32A{32}A32​A33A{33}A33​和∣A∣|A|∣A∣的相等所以 a11A31a12A32a13A330a{11}A{31}a{12}A{32}a{13}A{33}0\ a11​A31​a12​A32​a13​A33​0 重要公式 上下三角行列式的值∣a11a12…a1n0a22…a2n⋮⋮⋮00…ann∣∣a110…0a21a22…0⋮⋮⋮an1an2…ann∣a11a22…ann\begin{vmatrix}a{11}a{12}\ldots a{1n}\0a{22}\ldotsa{2n}\\vdots\vdots\vdots\00\ldotsa{nn}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a{11}0\ldots 0\a{21}a{22}\ldots0\\vdots\vdots\vdots\a{n1}a{n2}\ldotsa{nn}\end{vmatrix}a{11}a{22}\dots a{nn}​a11​0⋮0​a12​a22​⋮0​………​a1n​a2n​⋮ann​​​​a11​a21​⋮an1​​0a22​⋮an2​​………​00⋮ann​​​a11​a22​…ann​副对角线行列式的值∣a11a12…a1na21a22…0⋮⋮⋮an10…0∣∣0…0a1n0…a2(n−1)a2n⋮⋮⋮an1…an(n−1)ann∣(−1)n(n−1)2a1na2(n−1)…an1\begin{vmatrix}a{11}a{12}\ldots a{1n}\a{21}a{22}\ldots0\\vdots\vdots\vdots\a{n1}0\ldots0\end{vmatrix}\begin{vmatrix}0\dots0 a{1n}\0\dotsa{2(n-1)}a{2n}\\vdots\vdots\vdots\a{n1}\dotsa{n(n-1)}a{nn}\end{vmatrix}(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a{1n}a{2(n-1)}\dots a{n1}​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮0​………​a1n​0⋮0​​​00⋮an1​​………​0a2(n−1)​⋮an(n−1)​​a1n​a2n​⋮ann​​​(−1)2n(n−1)​a1n​a2(n−1)​…an1​范德蒙行列式 ∣11…1a1a2…ana12a22…an2⋮⋮⋮a1n−1a2n−1…ann−1∣∏1≤ji≤n(ai−aj)\begin{vmatrix} 11\dots1\ a_1a_2\dotsa_n\ a_1^2a_2^2\dotsa_n^2\ \vdots\vdots\vdots\ a_1^{n-1}a_2^{n-1}\dotsan^{n-1} \end{vmatrix} \prod{1≤ji≤n}(a_i-aj) ​1a1​a12​⋮a1n−1​​1a2​a22​⋮a2n−1​​…………​1an​an2​⋮ann−1​​​1≤ji≤n∏​(ai​−aj​) 证明假设n−1n-1n−1时∣An−1∣∏1≤ji≤n−1(ai−aj)|A{n-1}|\prod_{1≤ji≤n-1}(a_i-a_j)∣An−1​∣∏1≤ji≤n−1​(ai​−aj​)成立对于nnn阶行列式∣An∣|A_n|∣An​∣将上一行的的−a1-a_1−a1​倍加到下一行由n−1n-1n−1行开始得 ∣11…10a2−a1…an−a10a22−a1a2…an2−a1an⋮⋮⋮0a2n−1−a1a2n−2…ann−1−anann−2∣∣a2−a1a3−a1…an−a1a2(a2−a1)a3(a3−a1)…an(an−a1)⋮⋮⋮a2n−1(a2−a1)a3n−1(a3−a1)…ann−1(an−a1)∣(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)∣11…1a1a2…ana12a22…an2⋮⋮⋮a1n−2a2n−2…ann−2∣(a2−a1)(a3−a1)…(an−a1)∏1≤ji≤n−1(ai−aj)∏1≤ji≤n(ai−aj)\begin{vmatrix} 11\dots1\ 0a_2-a_1\dotsa_n-a_1\ 0a_2^2-a_1a_2\dotsa_n^2-a_1a_n\ \vdots\vdots\vdots\ 0a_2^{n-1}-a_1a_2^{n-2}\dotsa_n^{n-1}-a_na_n^{n-2} \end{vmatrix}\\ \ \begin{vmatrix} a_2-a_1a_3-a_1\dotsa_n-a_1\ a_2(a_2-a_1)a_3(a_3-a_1)\dotsa_n(a_n-a_1)\ \vdots\vdots\vdots\ a_2^{n-1}(a_2-a_1)a_3^{n-1}(a_3-a_1)\dotsa_n^{n-1}(a_n-a_1) \end{vmatrix}\\ \ (a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots(a_n-a_1) \begin{vmatrix} 11\dots1\ a_1a_2\dotsa_n\ a_1^2a_2^2\dotsa_n^2\ \vdots\vdots\vdots\ a_1^{n-2}a_2^{n-2}\dotsa_n^{n-2} \end{vmatrix}\\ \(a_2-a_1)(a_3-a_1)\dots(a_n-a1)\prod{1≤ji≤n-1}(a_i-aj)\\ \\prod{1≤ji≤n}(a_i-a_j) ​100⋮0​1a2​−a1​a22​−a1​a2​⋮a2n−1​−a1​a2n−2​​…………​1an​−a1​an2​−a1​an​⋮ann−1​−an​ann−2​​​ ​a2​−a1​a2​(a2​−a1​)⋮a2n−1​(a2​−a1​)​a3​−a1​a3​(a3​−a1​)⋮a3n−1​(a3​−a1​)​………​an​−a1​an​(an​−a1​)⋮ann−1​(an​−a1​)​​ (a2​−a1​)(a3​−a1​)…(an​−a1​)​1a1​a12​⋮a1n−2​​1a2​a22​⋮a2n−2​​…………​1an​an2​⋮ann−2​​​ (a2​−a1​)(a3​−a1​)…(an​−a1​)1≤ji≤n−1∏​(ai​−aj​) 1≤ji≤n∏​(ai​−aj​)拉普拉斯展开式 ∣Am∗OBn∣∣AmO∗Bn∣∣Am∣∗∣Bn∣\begin{vmatrix}A_m\OB_n\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A_mO\*B_n\end{vmatrix}|A_m||B_n|​Am​O​∗Bn​​​​Am​∗​OBn​​​∣Am​∣∗∣Bn​∣ ∣OAmBn∗∣∣∗AmBnO∣(−1)nm∣Am∣∗∣Bn∣\begin{vmatrix}OA_m\B_n*\end{vmatrix}\begin{vmatrix}A_m\B_nO\end{vmatrix}(-1)^{nm}|A_m||Bn|​OBn​​Am​∗​​​∗Bn​​Am​O​​(−1)nm∣Am​∣∗∣Bn​∣特征多项式设A(aij)A(a{ij})A(aij​)是333阶矩阵则AAA的特征多项式∣λE−A∣λ3−(a11a22a33)λ2s2λ−∣A∣\begin{vmatrix}\lambda E-A \end{vmatrix}\lambda^{3}-(a{11}a{22}a_{33})\lambda^2s_2\lambda-|A|​λE−A​​λ3−(a11​a22​a33​)λ2s2​λ−∣A∣其中s2∣a11a12a21a22∣∣a11a13a31a33∣∣a11a22a32a33∣s2\begin{vmatrix}a{11}a{12}\a{21}a{22}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a{11}a{13}\a{31}a{33}\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a{11}a{22}\a{32}a{33}\end{vmatrix}s2​​a11​a21​​a12​a22​​​​a11​a31​​a13​a33​​​​a11​a32​​a22​a33​​​ 克拉默法则 若nnn个未知数、nnn个方程的线性方程组{a11x1a12x2⋯a1nxnb1a21x1a22x2⋯a2nxnb2…an1x1an2x2⋯annxnbn\begin{cases}a{11}x1a{12}x2\dotsa{1n}x_nb1\a{21}x1a{22}x2\dotsa{2n}x_nb2\\dots\a{n1}x1a{n2}x2\dotsa{nn}x_nbn\\end{cases}⎩⎨⎧​a11​x1​a12​x2​⋯a1n​xn​b1​a21​x1​a22​x2​⋯a2n​xn​b2​…an1​x1​an2​x2​⋯ann​xn​bn​​的系数行列式D∣A∣∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣≠0D|A|\begin{vmatrix}a{11}a{12}\dotsa{1n}\a{21}a{22}\dotsa{2n}\\vdots\vdots\vdots\a{n1}a{n2}\dotsa{nn}\end{vmatrix}≠0D∣A∣​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​………​a1n​a2n​⋮ann​​​0则方程组有唯一解x1D1D,x2D2D,…,xnDnDx_1\frac{D_1}{D},x_2\frac{D_2}{D},\dots,x_n\frac{D_n}{D}x1​DD1​​,x2​DD2​​,…,xn​DDn​​其中Dj∑i1nbiAij∣a11…a1,j−1b1a1,j1…a1na21…a2,j−1b2a2,j1…a2n⋮⋮⋮⋮⋮an1…an,j−1b1an,j1…ann∣(j1,2,…,n)Dj\sum{i1}^nbiA{ij}\begin{vmatrix}a{11}\dotsa{1,j-1}b1a{1,j1}\dotsa{1n}\a{21}\dotsa_{2,j-1}b2a{2,j1}\dotsa{2n}\\vdots\vdots\vdots\vdots\vdots\a{n1}\dotsa_{n,j-1}b1a{n,j1}\dotsa{nn}\end{vmatrix}(j1,2,\dots,n)Dj​i1∑n​bi​Aij​​a11​a21​⋮an1​​………​a1,j−1​a2,j−1​⋮an,j−1​​b1​b2​⋮b1​​a1,j1​a2,j1​⋮an,j1​​………​a1n​a2n​⋮ann​​​(j1,2,…,n) 若齐次方程组{a11x1a12x2⋯a1nxn0a21x1a22x2⋯a2nxn0…an1x1an2x2⋯annxn0\begin{cases}a{11}x1a{12}x2\dotsa{1n}xn0\a{21}x1a{22}x2\dotsa{2n}xn0\\dots\a{n1}x1a{n2}x2\dotsa{nn}xn0\\end{cases}⎩⎨⎧​a11​x1​a12​x2​⋯a1n​xn​0a21​x1​a22​x2​⋯a2n​xn​0…an1​x1​an2​x2​⋯ann​xn​0​的系数行列式D≠0D\neq0D0则方程组只有零解。若有非零解则系数行列式D0D0D0。 补充知识 ∑i1nkaik∑i1nai\sum{i1}^nkaik\sum{i1}^nai i1∑n​kai​ki1∑n​ai​∑i1n(aibi)∑i1nai∑i1nbi\sum{i1}^n(a_ibi)\sum{i1}^nai\sum{i1}^nbi i1∑n​(ai​bi​)i1∑n​ai​i1∑n​bi​∑i1m∑j1naij∑j1n∑i1maij\sum{i1}^m\sum{j1}^na{ij}\sum{j1}^n\sum{i1}^ma_{ij} i1∑m​j1∑n​aij​j1∑n​i1∑m​aij​