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一.演变历程 我们的计数形式进行了长期的演变尽管象征计数意义的符号在不断的发生改变淘汰一套又一套但其核心思想使用不同的符号代表不同权重却始终未曾发生改变只是为了适应多变与复杂的情景在不断的进行改进使其使用更加便利。 例如我们先使用‘ I ’代表 1个 物品增多后发现 I 太多了不方便便引入‘ 一 ’代表 5个 ,以此简化表示。 随着时间的推移计数越来越庞大为了便捷我们便又引入了更多的符号代表不同的权值。由于这种方式是基于“ 加法 ”思想的计数方法随着数据规模增大相应表示也不可避免的会越来越复杂。例如DMCLXVI - 1000500100501051 1666 为了解决上述问题我们又发明了基于“ 乘法 ”思想的计数方法仍旧是使用不同符合代表权重但是不再是一个固定值而是根据所在位置动态变化,也就是说符号所在的位置也反应权重。由此催生了我们现在最常使用的十进制数。符号权值 符号值 × 符号所处位置权值。 由此我们可以推断出其表达公式 由于 0~9 一共只有十种符号要表达加法的时候必须逢十进一这也是为什么叫做十进制。
二.进位计数制 (1) 引入 基于“ 乘法 ”思想的计数方法我们可以根据权值符号的数量不同得出不同的进制计数法。 我们使用基数表示每个数码位所用到的不同符号的个数r 进制的基数为 r。 例如十进制表示每个位置可以用到十种不同的符号。 由此可以得出二进制八进制十进制十六进制 二进制01 每个位置两种表示符号 八进制01234567 每个位置八种表示符号 十进制0123456789 每个位置十种表示符号 十六进制0123456789ABCDEF 每个位置十六种表示符号 其加法运算方式与十进制类似同样是逢 r 进一。例如 二进制 11 11 110 逢二进一 运算0号位1 1 2 2(进位) 0 1号位1 1 1(进的一) 3 2(进位) 1 2号位 1(进的一) 八进制 54 55 131 逢八进一 运算 0号位4 5 9 8(进位) 1 1号位5 5 1(进的一) 11 8(进位) 3 2号位1(进的一) 十进制 37 55 92 逢十进一 运算 0号位5 7 12 10(进一) 2 1号位5 3 1(进的一) 9 十六进制59 58 B1 逢十六进一 运算 0号位8 9 17 16(进一) 1 1号位5 5 1(进的一) 11 B 注意十六进制中 A - 10 B - 11 C - 12 D - 13 E - 14 F - 15 (2) 任意进制 - 十进制 (2.1) 任意进制 - 十进制 我们可以得出任意进制转 r 进制公式得到一套快速计算任意进制转为十进制的计算模板。记小数点左边第一位为0号位置: 十进制 Σ(数码位值× 基数 ^ 位置) Σ(数码位值× 位权)
(2.2) 十进制- 任意进制 对于十进制转为其他任意进制我们也有一套通用的计算模板但是对于整数部分和小数部分的计算方式却有所差异。 对于整数部分r进制整数部分 十进制整数部分 % r 不断取余数
例如我们将十进制 75 转为二进制数最后结果为1001011注意顺序
十进制转为其他进制写法类似
对于小数部分r进制小数部分 十进制小数部分 × r 不断取出整数
例如我们将十进制 0.3 转为二进制数最后结果为0.01001…可以发现无限循环了也就是说我们无法获取到其二进制的精确表示于此对于无限小数我们只需取到指定精度即可注意顺序 十进制转为其他进制写法类似
(3) 二进制 - 八进制 (3.1) 二进制 - 八进制 我们知道八进制的基数为 8即每个位数可以表示八种不同情况。而二进制的基数为 2即每个位数可以表示两种不同情况。假如我们把三个二进制位组合便可以得到2×2×28种不同情况正好对应八进制每个数码位的八种情况。由此我们可以得出二进制转八进制的计算方式将二进制数每3位分为一组每组转换成对应的八进制符号。
由此上述二进制 - 八进制为1111000010.011010 - 1702.32 注意当小数点左边位数不够3的整数倍向左补0当小数点右边位数不够3的整数倍向右补0。 (3.2) 八进制 - 二进制 八进制转为二进制相当于一个逆向的过程即每位八进制数可以对应 3 位二进制数。我们只需一一将每位八进制数转为二进制形式即可获取到其所对应的二进制数。
例如上述我们将八进制数251.5转为二进制数只需一一转为二进制数再进行组合即可。 (4) 二进制 - 十六进制 (4.1) 二进制 - 十六进制 同理我们知道十六进制的基数为16即每个位数可以表示十六种不同情况。而二进制的基数为2即每个位数可以表示两种不同情况。假如我们把四个二进制位组合便可以得到2×2×2×216种不同情况正好对应十六进制每个数码位的十六种情况。由此我们可以得出二进制转十六进制的计算方式将二进制数每4位分为一组每组转换成对应的十六进制符号。
由此上述二进制 - 十六进制为1111000010.011010 - 3C2.68 注意当小数点左边位数不够4的整数倍向左补0当小数点右边位数不够4的整数倍向右补0。 (4.2)十六进制 - 二进制 十六进制转为二进制相当于一个逆向的过程即每位十六进制数可以对应 4 位二进制数。我们只需一一将每位十六进制数转为二进制形式即可获取到其所对应的二进制数。 十六进制AE861 - 二进制1010 1110 1000 0110. 0001 一一进行转换最后再按顺序组合起来。 A - 1010 E - 1110 8 - 1000 6 - 0110 1- 0001 (5) 各种进制常见书写方式 对于不同的进制数我们两种常见的书写方式 用括号()包围进制数然后在括号右下角进行标识即可 直接在部分进制数后写上指定字母例如二级制Bbinary, 十进制Ddecimalism, 十六进制Hhexadecimal或 0x,
三.真值、机器数 如果我们需要转换的十进制还带有正负号此时我们就需要再增加一个符号位用来标识正负号例如用0标识正1标识负。 例如 15 - 1111 15 - 0 1111 8 - 1000 - 8 - 1 1000 其中 15 和 -8 为真值而 0 1111 和 1 1000 为机器数 我们规定 真值符合人类习惯的数字。 机器数数字实际存到机器里的形式正负号需要被“数字化”。