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金融行业建设网站,青海医院网站建设公司,计算机网站设计,申请备案网站空间文章目录 第3章 n维向量1.概念(1)n维单位列向量 2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)(1)线性表示 #xff1a;AXβ(2)线性相关、线性无关#xff1a; AX0①线性相关②线性无关③线性相关性7大定理 3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩1.极大线性无关组2.等价向量组… 文章目录 第3章 n维向量1.概念(1)n维单位列向量 2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性)(1)线性表示 AXβ(2)线性相关、线性无关 AX0①线性相关②线性无关③线性相关性7大定理 3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩1.极大线性无关组2.等价向量组3.向量组的秩 4.向量空间(1)向量空间的概念(2)基(3)基变换的过渡矩阵(4)向量在基下的坐标 第4章 线性方程组(一)具体型线性方程组1.齐次线性方程组 Ax0(1)有解的条件齐次线性方程组解的判别(2)解的性质齐次解的性质解的叠加性解的线性组合也是解 (3)基础解系、通解的结构①基础解系②通解的结构③自由变量 (4)求解方法和步骤 2.非齐次线性方程组 Axβ(1)有解的条件非齐次线性方程组解的判别(2)解的性质非齐次解的性质(3)求解方法和步骤(4)非齐次线性方程组的几何意义3个方程代表3个平面交点代表解的个数 (二)抽象型线性方程组(三)方程组的公共解、同解方程组1.方程组的公共解2.同解方程组 第3章 n维向量 1.概念 § 3 §3 §3 向量组 { ①部分相关整体相关 ②整体无关部分无关 ③低维无关高维无关 ④高维相关低维相关 \begin{cases} ①部分相关整体相关\ ②整体无关部分无关\ ③低维无关高维无关\ ④高维相关低维相关 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​①部分相关整体相关②整体无关部分无关③低维无关高维无关④高维相关低维相关​ (1)n维单位列向量 α ( a 1 a 2 a 3 … a n ) , α T ( a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ) α\left(\begin{array}{c} a_1 \ a_2 \ a_3 \ …\ a_n \end{array}\right),α^T(a_1,a_2,a_3,…,a_n) α ​a1​a2​a3​…an​​ ​,αT(a1​,a2​,a3​,…,an​) 性质若α是n维列向量则 1. ①一列乘一行是矩阵 α α T αα^T ααT 是 n × n n×n n×n阶方阵 ②一行乘一列是一个数 α T α ∣ ∣ α ∣ ∣ 2 α^Tα||α||^2 αTα∣∣α∣∣2

1. t r ( α α T ) α T α tr(αα^T)α^Tα tr(ααT)αTα 3. r ( α α T ) 1 r(αα^T)1 r(ααT)1 4. ( α α T ) T α α T ∴ α ⋅ α T (αα^T)^Tαα^T∴α·α^T (ααT)TααT∴α⋅αT是n阶实对称方阵可以相似对角化 α ⋅ α T ∼ ( 1 0 … 0 ) α·α^T\sim\left(\begin{array}{cc} 1 \ 0 \ …\ 0 \end{array}\right) α⋅αT∼ ​1​0​…​0​ ​ 例题117年5.
   分析不可逆即|A|λ₁λ₂λ₃…0即有0特征值 α α T ∼ ( 1 0 … 0 ) αα^T\sim\left(\begin{array}{cc} 1 \ 0 \ …\ 0 \end{array}\right) ααT∼ ​1​0​…​0​ ​显然 E − α α T E-αα^T E−ααT有零特征值不可逆 答案A 2.向量、向量组的的线性关系(线性相关性) (1)线性表示 AXβ 若存在常数 k 1 , k 2 , … , k s , k_1,k_2,…,k_s, k1​,k2​,…,ks​,使得 α k 1 β 1 k 2 β 2 … k s β s α k_1β_1 k_2β_2… k_sβ_s αk1​β1​k2​β2​…ks​βs​则称向量 α α α是向量组 β 1 , β 2 , … , β s β_1,β_2,…,β_s β1​,β2​,…,βs​的线性组合或称向量 α α α可被向量组 β 1 , β 2 , … , β s β_1,β_2,…,β_s β1​,β2​,…,βs​线性表示(线性表出) 哪个向量前面的系数不为0这个向量就可以被其余向量线性表示 例题103年10.
   答案D 例题2数二 21年9.   线性表示
   分析
   答案D 例题320年6.   直线的点向式方程→直线的参数方程→直线参数方程的向量形式 线性表示
   分析
   答案C (2)线性相关、线性无关 AX0 ①线性相关 1.定义设向量组α1,α2,…,αs若存在不全为0的数k1,k2,…,ks使 k 1 α 1 k 2 α 2 … k s α s 0 k_1α_1k_2α_2…k_sα_s0 k1​α1​k2​α2​…ks​αs​0则称向量组α1,α2,…,αs线性相关 2.线性相关的充要条件α1,α2,…,αs中至少有一个向量可以被其他向量线性表示 线性相关的向量组中系数不为0的向量可由其他向量线性表示 3.线性相关的等价条件 ⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出
   4.通过初等变换无关 可变 相关但 已相关 不可回 无关
   5.含有零向量或成比例向量的向量组必线性相关 显然若向量组中有零向量则向量组线性相关。(可取零向量α0的系数k0为任意非零常数破坏了线性无关的定义。) 即含有零向量的向量组线性相关。 本来线性无关的向量组加入一个零向量它们就线性相关了。可见零向量就是一个润滑剂 ②线性无关 1.定义设向量组α1,α2,…,αs若不存在不全为0(仅存在全为0)的数k1,k2,…,ks使k1α1k2α2…ksαs0则称向量组α1,α2,…,αs线性无关 2.推论设向量组α1,α2,…,αs线性无关但向量组α1,α2,…,αs,β线性相关。则向量β可由向量组α1,α2,…,αs线性表示且表示法唯一。 3.线性无关的等价条件 ①行列式|A|≠0 ②A可逆 ③满秩r(A)n ④AX0仅有零解 ⑤向量组不成比例 ③线性相关性7大定理 1.线性相关 ⇦⇨ 至少有一个向量可由其余n-1向量线性表出 线性无关 ⇦⇨ 任一向量均不能由其余n-1个向量线性表出 2.原来无关加一个相关则新加的可被原向量组 唯一线性表示 证明 非0不可由0表示若向量α第k行非0其他向量第k行均为0则α不可由其他向量线性表示 0向量可由非0向量表示零向量 0×非零向量 3.以少表多多的相关、秩多的可以表示秩少的 高维空间可表示低维空间反之不可 【秩多的可以表示秩少的】 4.Ax0 仅有零解A线性无关有非零解A线性相关 ①nm必相关 方程个数未知数个数即维数个数则线性相关。 n维向量空间若向量组线性无关最多只能有n个向量。即维数≥个数。 ②nm看行列式 ③nm见定理6、7 方程组结论 5.①β可由向量组α₁,α₂,…,αm线性表出 ⇦⇨ An×mx β 有解 ⇦⇨ r(A)r(A,β) ②β不可由向量组α₁,α₂,…,αm线性表出 ⇦⇨ An×mx β 无解 ⇦⇨ r(A)≠r(A,β) 6.向量个数的增减 ①部分相关整体相关。 ②整体无关部分无关。 7.维数的增减 ①原来无关延长必无关 【低维无关高维无关】 ②原来相关缩短必相关 【高维相关低维相关】 例题0张宇30讲 例题3.6   抽象型向量组的线性相关性用定义法
   答案 例题112年05. 分析 法一线性相关的充要条件线性相关⇦⇨行列式0 ∵|α1,α3,α4|0∴α1、α3、α4线性相关 法二线性相关的充分条件线性相关⇨成比例 ∵α3α4(0,0,c3c4)T与α1成比例∴α1、α3、α4线性相关 答案C 例题206年11.
   分析 若已经相关了则初等变换后依然相关不能再变回无关了。若变换后是无关则变换前肯定也得是无关 若本来无关通过变换可能相关。 答案A 例题306年11.真题的变式
   答案C 例题414年6.   线性无关、必要性与充分性
   分析 ①必要性成立是必要条件
   ②充分性不成立是非充分条件若向量组中有一个零向量则该向量组线性相关
   答案A 3.极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩 1.极大线性无关组 (1)概念 ①线性无关 ②向量组中任意向量均可由极大线性无关组线性表出 (2)性质 ①极大线性无关组一般不唯一但其成员个数是唯一的。极大线性无关组是该向量组的最简小组 ②向量组的秩①极大线性无关组中成员的个数 ②向量组中线性无关的向量个数 ③秩为该向量组所张成的向量空间的维数 (3)找极大线性无关组的步骤 ①将列向量们组成矩阵A作初等行变换化为行阶梯形矩阵确定r(A) ②按列找出其中一个秩为r(A)的子矩阵即为一个极大线性无关组 2.等价向量组 1.矩阵等价①同型 ②秩等:r(A)r(B) 向量组等价①同维 ②r(A)r(B)r(A,B) 即两个向量组可以相互线性表出 2.初等行变换行向量组等价  初等列变换列向量组等价 等价矩阵和等价向量组 例题123李林四(一)5.   向量组等价型同、秩等、相互表出
   分析 答案B 例题213年5. 答案B 例题300年9.
   分析
   答案D 3.向量组的秩 1.向量组的秩的概念 ①向量组 α 1 , α 2 , … , α s α_1,α_2,…,αs α1​,α2​,…,αs​ 的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , … , α i r α{i1},α{i2},…,α{i_r} αi1​​,αi2​​,…,αir​​ 中所含向量的个数r 为 向量组的秩记作 r ( α 1 , α 2 , … , α s ) r r(α_1,α_2,…,αs)r r(α1​,α2​,…,αs​)r ②向量组中线性无关的向量个数 ③秩为该向量组所张成的向量空间的维数 2.性质 ①矩阵的秩 行秩 列秩 (三秩相等) ②秩大的表示秩小的可被线性表出的秩小 4.向量空间 (1)向量空间的概念 过渡矩阵、坐标、基、维数 ①维数 R n {\rm R}^n Rn 指n维向量空间由n个线性无关的n维向量张成 ②基证明向量组为R3的基只需要证明向量组中各向量线性无关 ③过渡矩阵 A P B APB APB则 过渡矩阵 P A − 1 B PA^{-1}B PA−1B ④坐标向量 坐标·基 基变换、过渡矩阵 坐标变换 (2)基 向量空间的基的2个必要条件设V为向量空间若r个向量α1,α2,…,αr∈V且满足 (1)α1,α2,…,αr线性无关 【证明向量组为R3的基只需要证明向量组中各向量线性无关】 (2)V中任意向量都可由α1,α2,…,αr线性表示 则向量组α1,α2,…,αr称为向量空间V的一个基r称为向量空间V的维数并称V为r维向量空间 基的概念类似极大线性无关组、基础解系 若把向量空间V看作向量组则由极大线性无关组的等价定义可知V的基就是向量组的极大无关组V的维数就是向量组的秩。 例题15年20(1) (3)基变换的过渡矩阵 求A基到B基的过渡矩阵右乘列变换 APB则过渡矩阵 PA-1B 例题103年4.
   分析 A P B ∴ P A − 1 B APB ∴PA^{-1}B APB∴PA−1B。注意二阶求逆时先求A*还要除以|A|。这里|A|-1 答案 ( 2 3 − 1 − 2 ) \left(\begin{array}{cc} 2 3 \ -1 -2 \end{array}\right) (2−1​3−2​) 例题219年20.
   分析 (2)①证明3个向量是R3的基只需证明它们线性无关 [向量的基线性无关] ②求A基到B基的过渡矩阵 APB则过渡矩阵 PA-1B
   答案 (4)向量在基下的坐标 向量 坐标·基 例题0 例题123李林四(二)15.
   分析
   答案 ( 2 2 , 2 , − 2 2 ) (\dfrac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}) (22 ​​,2 ​,−22 ​​) 例题215年20.
   分析 (1)证明向量组是R3的一个基只需要证明向量组线性无关 (2)坐标 第4章 线性方程组 (一)具体型线性方程组 1.齐次线性方程组 Ax0 齐次线性方程组 A m × n x 0 A{m×n}x0 Am×n​x0 m为所给方程个数n为未知数个数。mn时就有自由变量 例题18年20.(1) (1)有解的条件齐次线性方程组解的判别 AX0齐次必然有解。 ① r ( A ) n r(A)n r(A)n ( α 1 , α 2 , … , α n α_1,α_2,…,α_n α1​,α2​,…,αn​线性无关)唯一零解。 ② r ( A ) n r(A)n r(A)n ( α 1 , α 2 , … , α n α_1,α_2,…,α_n α1​,α2​,…,αn​线性相关)无穷多个非零解 和零解 。且有n-r个线性无关解 (用这n-r个线性无关解来表示这无穷多个解) A x 0 Ax0 Ax0的无穷多解是一个“解空间”用 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 … , k n − r ξ n − r k_1ξ_1k_2ξ2…,k{n-r}ξ_{n-r} k1​ξ1​k2​ξ2​…,kn−r​ξn−r​表示sn-r (2)解的性质齐次解的性质 解的叠加性解的线性组合也是解 (3)基础解系、通解的结构 ①基础解系 1.基础解系的定义 设 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r ξ_1,ξ2,…,ξ{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​满足 ①是方程组 A x 0 Ax0 Ax0的解 ②线性无关 ③有sn-r个。方程组 A x 0 Ax0 Ax0的任一解向量均可由 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r ξ_1,ξ2,…,ξ{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​线性表出 则称 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n − r ξ_1,ξ2,…,ξ{n-r} ξ1​,ξ2​,…,ξn−r​ 为 A x 0 Ax0 Ax0 的基础解系。 基础解系是齐次方程组 A x 0 Ax0 Ax0 的解向量集合的极大线性无关组。 2.基础解系的求法见(4)求解方法与步骤的前三步 ②通解的结构 (1)齐次 ①先求出 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A)个线性无关的基础解系 ②每一个基础解系前面加一个 k i k_i ki​基础解系的线性组合即为齐次线性方程组的通解。 则齐次方程组的通解为 X k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 k 3 ξ 3 … k n − r ξ n − r Xk_1ξ_1k_2ξ_2k_3ξ3…k{n-r}ξ_{n-r} Xk1​ξ1​k2​ξ2​k3​ξ3​…kn−r​ξn−r​ (2)非齐次 若非齐次方程组 A X β AXβ AXβ的特解为 β β β则非齐次方程组的通解为 X k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 k 3 ξ 3 … … k n − r ξ n − r β Xk_1ξ_1k_2ξ_2k_3ξ3……k{n-r}ξ_{n-r}β Xk1​ξ1​k2​ξ2​k3​ξ3​……kn−r​ξn−r​β 通解形成“s维解空间”sn-r ③自由变量 (1)谁是自由变量化行阶梯/行最简矩阵时不在直角边上的 x i x_i xi​为自由变量 (2)自由变量/线性无关的解向量的个数 n − r ( A ) n-r(A) n−r(A) (3)自由变量的设置 ①1个自由变量1 ②2个自由变量 ( 1 0 ) , ( 0 1 ) \binom{1}{0},\binom{0}{1} (01​),(10​) ③3个自由变量 ( 1 0 0 ) \left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 \end{array}\right) ​100​ ​ ( 0 1 0 ) \left(\begin{array}{c} 0 \ 1 \ 0 \end{array}\right) ​010​ ​ ( 0 0 1 ) \left(\begin{array}{c} 0 \ 0 \ 1 \end{array}\right) ​001​ ​ 例题114年20
   分析 (2)A3×4B4×3E3×3 由于A和B都不是方阵故AB都不可逆更没有行列式。 考虑拆分B(b1,b2,b3)E(e1,e2,e3)。则ABE被拆成Ab1e1,Ab2e2,Ab3e3 bikiξ特解k为任意常数 (4)求解方法和步骤 2.基础解系(前3步)、通解求法 ①把A化为行阶梯/行最简矩阵 (方程组经初等行变换转化为同解方程组) ②找出一个秩为rr(A)的子矩阵基础解系为sn-r个把n-r(A)个 x i x_i xi​设为自由变量。(有同阶的才能设为自由变量) (例如n5r(A)3sn-r5-32基础解系有2个成员 ξ 1 , ξ 2 ξ_1,ξ_2 ξ1​,ξ2​ 设 x 4 , x 5 x_4,x_5 x4​,x5​为自由变量则 ξ 1 , ξ 2 ξ_1,ξ_2 ξ1​,ξ2​的最后两维(1,0) (0,1)即 ξ 1 ( , , 1 , 0 ) T , ξ 2 ( , , 0 , 1 ) T ξ_1( , , 1,0)^T,ξ_2( , , 0,1 )^T ξ1​(,,1,0)T,ξ2​(,,0,1)T。 ③根据行阶梯/行最简矩阵由最后一行倒着开始求其余变量的值直至第一行求出一个解向量 ξ 1 ξ_1 ξ1​再从最后一行开始求得到第二个解向量 ξ 2 ξ2 ξ2​直至求完所有解向量 ξ n − r ξ{n-r} ξn−r​ ④齐次线性方程组的通解为 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 … k n − r ξ n − r k_1ξ_1k_2ξ2…k{n-r}ξ_{n-r} k1​ξ1​k2​ξ2​…kn−r​ξn−r​ 例题119年13. 分析
   答案 X k ( 1 − 2 1 ) Xk\left(\begin{array}{c} 1 \ -2 \ 1 \end{array}\right) Xk ​1−21​ ​k为任意常数 2.非齐次线性方程组 Axβ 非齐次线性方程组 Am×nxβ可组合成AXB
   ①方程组形式 A X β AXβ AXβ ②向量形式 ①方程组的解 x 1 , x 2 , … x n x_1,x_2,…x_n x1​,x2​,…xn​就是向量与向量之间的表示系数 ②齐次线性方程组Ax0称为非齐次线性方程组Axβ的导出组 (1)有解的条件非齐次线性方程组解的判别 ① r ( A ) ≠ r ( A , β ) r(A)≠r(A,β) r(A)r(A,β) (即 r(A)1r(A,β)β不能由α₁,α₂,α₃线性表示)非齐次线性方程组无解 ② r ( A ) r ( A , β ) r(A)r(A,β) r(A)r(A,β) (β可由α₁,α₂,α₃线性表示)非齐次线性方程组 AXβ有解 ③ r ( A ) r ( A , β ) n r(A)r(A,β)n r(A)r(A,β)n (β可由α₁,α₂,…,αn线性表示且表示法唯一)非齐次线性方程组有唯一解 ④ r ( A ) r ( A , β ) n r(A)r(A,β)n r(A)r(A,β)n (β可由α₁,α₂,…,αn线性表示且表示法不唯一)非齐次线性方程组有无穷多解 (2)解的性质非齐次解的性质 ①非齐次特解做差是齐次特解 ②非齐次通解齐次通解 非齐次特解 (3)求解方法和步骤 ①求齐次方程组的基础解系进而求齐次方程组的通解 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 … k n − r ξ n − r k_1ξ_1k_2ξ2…k{n-r}ξ_{n-r} k1​ξ1​k2​ξ2​…kn−r​ξn−r​ 【注意基础解系是齐次的等式右边为0】 ②求特解 η η η令自由项均为0等式右边为自由项 β i β_i βi​。从最后一行开始代入求解直至第一行 ③拼起来即为非齐通解 例题123李林六套卷(二)15. 分析β不能由α₁,α₂,α₃线性表示即非齐次线性方程组无解 r ( A ) ≠ r ( A , β ) r(A)≠r(A,β) r(A)r(A,β) 答案0 例题212年20(2)
   分析 (2)Axβ有无穷多解则 r ( A ) r ( A ˉ ) n r(A)r(\bar{A})n r(A)r(Aˉ)n即r(A)n即 |A|0 化为行最简后先求齐次解Ax0得基础解系ξ(1,1,1,1)T。特解即为此时的β’(0,-1,0,0)T。通解Xkξβ’k(1,1,1,1)T(0,-1,0,0)Tk为任意常数 例题313年20.
   分析设 C ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) C\left(\begin{array}{cc} x_1 x_2 \ x_3 x_4 \end{array}\right) C(x1​x3​​x2​x4​​)由AC-CAB得出含x的方程组写为系数矩阵D的增广矩阵 D ˉ \bar{D} Dˉ化为行最简矩阵。这时就可以通过非齐次线性方程组解的判别条件 r ( D ) r ( D ˉ ) r(D)r(\bar{D}) r(D)r(Dˉ)来求ab的值了。求出后把a,b代入 D ˉ \bar{D} Dˉ求出齐次方程组的基础解析 ξ 1 ( 1 − 1 1 0 ) ξ_1\left(\begin{array}{c} 1 \ -1 \ 1 \ 0 \end{array}\right) ξ1​ ​1−110​ ​ ξ 2 ( 1 0 0 1 ) ξ_2\left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 \ 1 \end{array}\right) ξ2​ ​1001​ ​,非齐次通解X ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 ( 1 0 0 0 ) \left(\begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{array}\right)k_1ξ_1k_2ξ_2\left(\begin{array}{c} 1 \ 0 \ 0 \ 0 \end{array}\right) ​x1​x2​x3​x4​​ ​k1​ξ1​k2​ξ2​ ​1000​ ​ ∴ C ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) C\left(\begin{array}{cc} x_1 x_2 \ x_3 x_4 \end{array}\right) C(x1​x3​​x2​x4​​)… (4)非齐次线性方程组的几何意义3个方程代表3个平面交点代表解的个数 方程组有3个方程每个方程代表一个平面。3个平面的交点个数代表方程组的解的个数。 若三个平面相交于同一条直线则 r ( A ) r ( A ˉ ) 2 r(A)r(\bar{A})2 r(A)r(Aˉ)2 例题123李林六套卷(三)7.
   分析3个平面相较于一条直线则有无穷多个交点则 r ( A ) r ( A ˉ ) 3 r(A)r(\bar{A})3 r(A)r(Aˉ)3 A ˉ ( 1 1 b ∣ 3 2 a 1 b 1 ∣ 7 0 1 − a 2 b − 1 ∣ 0 ) \bar{A}\left(\begin{array}{cc} 1 1 b | \ 3 \ 2 a1 b1 | \ 7 \ 0 1-a 2b-1 | \ 0\ \end{array}\right) Aˉ ​120​1a11−a​bb12b−1​∣ 3∣ 7∣ 0​ ​ 显然第三行要为全0则a1,b1/2 答案B 例题202年10.   系数矩阵秩、增广矩阵秩 用空间中的平面表示
   分析 A.三个平面只有一个交点方程组有唯一解 r ( A ) r ( A ˉ ) 3 r(A)r(\bar{A})3 r(A)r(Aˉ)3。A❌ B.三个平面相较于同一条直线即方程组有无穷多个解 r ( A ) r ( A ˉ ) 2 3 r(A)r(\bar{A})23 r(A)r(Aˉ)23。B✔ C.两两相交互不平行 r ( A ) 2 r ( A ˉ ) 3 r(A)2r(\bar{A})3 r(A)2r(Aˉ)3。 C❌ D.两平面平行第三个平面与这两个平行平面分别相交 r ( A ) 2 r ( A ˉ ) 3 r(A)2r(\bar{A})3 r(A)2r(Aˉ)3。D❌ 答案B 例题319年6. 答案A (二)抽象型线性方程组 4.解就是系数 例题1基础30讲线代分册   求非齐次线性方程组的通解、解的性质
   分析 ①非齐通的解结构非齐通 齐通 非齐特 ②解的性质i. η 1 − η 2 η_1-η_2 η1​−η2​为齐次特解 ii. 1 2 ( η 1 η 2 ) \dfrac{1}{2}(η_1η_2) 21​(η1​η2​)为非齐次特解 1 3 ( η 3 2 η 2 ) \dfrac{1}{3}(η_32η_2) 31​(η3​2η2​)为非齐次特解 iii. 1 2 ( η 1 η 2 ) − 1 3 ( η 3 2 η 2 ) \dfrac{1}{2}(η_1η_2)-\dfrac{1}{3}(η_32η_2) 21​(η1​η2​)−31​(η3​2η2​)也为齐次通解乘6倍后 3 ( η 1 η 2 ) − 2 ( η 3 2 η 2 ) 3(η_1η_2)-2(η_32η_2) 3(η1​η2​)−2(η3​2η2​)仍为齐次通解 本题不必求出 η 1 , η 2 , η 3 η_1,η_2,η_3 η1​,η2​,η3​各自的值 答案 例题2:
   分析 ① r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min{ r(A),r(B)} r(AB)≤min{r(A),r(B)}由题得r(AB)2≤min{ r(A),r(B} ∴r(A)≥2r(B)≥2 又∵秩行秩列秩≤min{m,n}∴r(A)≤2r(B)≤2 故r(A)r(B)2 ②线性无关解的个数 s n − r sn-r sn−r s A n A − r ( A ) 3 − 2 1 s_An_A-r(A)3-21 sA​nA​−r(A)3−21 s B n B − r ( B ) 2 − 2 0 s_BnB-r(B)2-20 sB​nB​−r(B)2−20 答案B 例题3
   分析 ①sn-r(A)1 ∴r(A)3 ∴r(A*)1 ∴sn-r(A)3 排除AB ②(1,0,1,0)T是Ax0的一个基础解系(其中A(α₁,α₂,α₃,α₄))即α₁α₃0即α₁与α₃能相互线性表示线性相关。故A*x0的基础解系只能选 124或234。选D 答案D 例题4
   答案 (三)方程组的公共解、同解方程组 1.方程组的公共解 ①齐次线性方程组 A m × n x 0 A{m×n}x0 Am×n​x0和 B m × n x 0 B_{m×n}x0 Bm×n​x0的公共解是满足方程组 [ A B ] x 0 \left[\begin{array}{ccc}A\B\end{array}\right]x0 [AB​]x0的解即联立求解 ②增加约束使其相等令 k 1 ξ 1 k 2 ξ 2 l 1 η 1 l 2 η 2 k_1ξ_1k_2ξ_2l_1η_1l_2η2 k1​ξ1​k2​ξ2​l1​η1​l2​η2​找到k1k2关系将二维解空间化为一维解空间 2.同解方程组 1.定义/概念两个方程组 A m × n x 0 A{m×n}x0 Am×n​x0 和 B m × n x 0 B_{m×n}x0 Bm×n​x0 有完全相同的解则称它们为同解方程组 2.性质   A x 0 Ax0 Ax0 与 B x 0 Bx0 Bx0 为同解方程组 ⇦⇨解完全相同即Ax0的解满足Bx0且Bx0的解满足Ax0 (互相把解代入求出结果即可) ⇦⇨A与B的行向量组为等价向量组 ⇦⇨ r ( A ) r ( B ) r ( A B ) r(A)r(B)r\dbinom{A}{B} r(A)r(B)r(BA​) 例题1 例题2设Am×n证明r(A)r(ATA)
   证明 ∴r(A)r(AT)r(ATA)r(AAT)对任意Am×n均成立 例题322年6.
   分析 ①仅有零解 ⇦⇨ 系数矩阵满秩 ②齐次方程组的同解变形 ⇦⇨ 矩阵的初等行变换 答案C