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电子商务网站平台有哪些,免费网站申请域名com,浙江做电缆桥架的公司网站,品牌设计logo vi设计文章目录 线性变换与矩阵线性变换与二阶方阵常见的线性变换复合变换与矩阵乘法矩阵的定义列空间与基矩阵的秩逆变换与逆矩阵 线性变换与矩阵 线性变换与二阶方阵 本节从二维平面出发学习线性代数。通常选用平面坐标系 O x y Oxy Oxy #xff0c;基向量为 i , j \mathbf i,… 文章目录 线性变换与矩阵线性变换与二阶方阵常见的线性变换复合变换与矩阵乘法矩阵的定义列空间与基矩阵的秩逆变换与逆矩阵 线性变换与矩阵 线性变换与二阶方阵 本节从二维平面出发学习线性代数。通常选用平面坐标系 O x y Oxy Oxy 基向量为 i , j \mathbf i,\ \mathbf j i, j平面内的任意向量都可以写成基向量的线性组合 v x i y j \mathbf vx\mathbf iy\mathbf j vxiyj 这样平面内的点和有序实数对 ( x , y ) (x,y) (x,y) 一一对应。借助平面坐标系我们可以从代数的角度来研究几何变换。 变换与函数类似函数把数映射到数变换把点(向量)映射到点(向量)。 T : v ↦ T ( v ) T:\quad \mathbf v\mapsto T(\mathbf v) T:v↦T(v) 例如(1) 平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 绕原点 O O O 逆时针方向旋转 60 ° 60\degree 60° 角得到点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x,y) P′(x′,y′)坐标变换公式为 { x ′ 1 2 x − 3 2 y y ′ 3 2 x 1 2 y \begin{cases} x\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt 3}{2}y \ y\frac{\sqrt 3}{2}x\frac{1}{2}y \end{cases} {x′21​x−23 ​​yy′23 ​​x21​y​ 可写为向量形式 [ x ′ y ′ ] x [ 1 2 3 2 ] y [ − 3 2 1 2 ] \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} x\begin{bmatrix}\frac{1}{2}\\frac{\sqrt 3}{2}\end{bmatrix} y\begin{bmatrix}-\frac{\sqrt 3}{2}\\frac{1}{2}\end{bmatrix} [x′y′​]x[21​23 ​​​]y−23 ​​21​​ 平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 关于 y y y 轴的对称点 P ′ ( x ′ , y ′ ) P(x,y) P′(x′,y′)的表达式为 { x ′ − x y ′ y \begin{cases} x-x \ yy \end{cases} {x′−xy′y​ 可写为向量形式 [ x ′ y ′ ] x [ − 1 0 ] y [ 0 1 ] \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} x\begin{bmatrix}-1\0\end{bmatrix} y\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix} [x′y′​]x[−10​]y[01​] 事实上在平面坐标系 O x y Oxy Oxy 中很多几何变换都具有如下坐标变换公式 { x ′ a x b y y ′ c x d y \begin{cases} xaxby \ ycxdy \end{cases} {x′axbyy′cxdy​ 向量形式为 [ x ′ y ′ ] x [ a c ] y [ b d ] \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} x\begin{bmatrix}a\c\end{bmatrix} y\begin{bmatrix}b\d\end{bmatrix} [x′y′​]x[ac​]y[bd​] 其中 ( x ′ , y ′ ) (x,y) (x′,y′)为平面内任意一点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 变换后的点。我们把形如上式的几何变换叫做平面线性变换。 容易证明线性变换满足下列两条性质 (1) 可加性 T ( v w ) T ( v ) T ( w ) T(\mathbf v\mathbf w)T(\mathbf v)T(\mathbf w) T(vw)T(v)T(w) (2) 伸缩性 T ( c v ) c L ( v ) T(c\mathbf v)cL(\mathbf v) T(cv)cL(v) 事实上这两条性质才是线性变换的严格定义。 为了进一步了解线性变换的本质取任意向量 v x i y j \mathbf vx\mathbf iy\mathbf j vxiyj 在线性变换 T T T 的作用下 T ( v ) T ( x i y j ) x T ( i ) y T ( j ) T(\mathbf v)T(x\mathbf iy\mathbf j)xT(\mathbf i)yT(\mathbf j) T(v)T(xiyj)xT(i)yT(j) 可知变换后的向量 T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 由变换后的基向量以同样的系数完全确定。设变换后的基向量分别为 T ( i ) a i c j [ a c ] , T ( j ) b i d j [ b d ] T(\mathbf i)a\mathbf ic\mathbf j\begin{bmatrix}a\c\end{bmatrix},\quad T(\mathbf j)b\mathbf id\mathbf j\begin{bmatrix}b\d\end{bmatrix} T(i)aicj[ac​],T(j)bidj[bd​] 注意本章线性变换中的坐标始终使用最初的 O x y Oxy Oxy 坐标系。 于是线性变换 T : v ↦ T ( v ) T:\mathbf v\mapsto T(\mathbf v) T:v↦T(v) 对应的坐标运算为 [ x ′ y ′ ] x [ a c ] y [ b d ] \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} x\begin{bmatrix}a\c\end{bmatrix} y\begin{bmatrix}b\d\end{bmatrix} [x′y′​]x[ac​]y[bd​] 由于上述变换由变换后的基向量唯一确定我们可以按顺序写为数表的形式 我们把这个数表称为二阶矩阵一般用大写英文字母表示。变换后的向量则定义为矩阵与向量的乘积 [ a b c d ] [ x y ] x [ a c ] y [ b d ] [ a x b y c x d y ] \begin{bmatrix}a b\c d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} x\begin{bmatrix} a \ c \end{bmatrix} y\begin{bmatrix} b \ d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} axby \ cxdy \end{bmatrix} [ac​bd​][xy​]x[ac​]y[bd​][axbycxdy​] 可知矩阵代表一个特定的线性变换我们完全可以把矩阵的列看作变换后的基向量矩阵向量乘法就是将线性变换作用于给定向量。 Grant矩阵最初的定义就来自线性变换。 至此任何一个线性变换都可以写为矩阵与向量乘积的形式。反之确定了坐标系后任何一个矩阵都唯一确定了一个线性变换。矩阵和向量的乘积与线性变换实现了一一对应。 一般地直线在线性变换后仍然保持直线。 证明如图 l l l 为向量 w 1 , w 2 \mathbf w_1,\mathbf w_2 w1​,w2​ 终点所确定的直线 v \mathbf v v 为终点在直线 l l l 上的任意向量。 v w 1 λ ( w 2 − w 1 ) ( 1 − λ ) w 1 λ w 2 ( λ ∈ R ) \mathbf v\mathbf w_1\lambda(\mathbf w_2-\mathbf w_1)(1-\lambda)\mathbf w_1\lambda \mathbf w_2 \quad (\lambda\in\R) vw1​λ(w2​−w1​)(1−λ)w1​λw2​(λ∈R) 令 λ 1 λ 2 1 \lambda_1\lambda_21 λ1​λ2​1 则 v λ 1 w 1 λ 2 w 2 \mathbf v\lambda_1 \mathbf w_1\lambda_2 \mathbf w_2 vλ1​w1​λ2​w2​ 这就是由向量 w 1 , w 2 \mathbf w_1,\mathbf w_2 w1​,w2​ 的终点所确定的直线的向量形式。由线性变换的基本性质可知直线 l l l 在线性变换 A A A 的作用下变成 v ′ A ( λ 1 w 1 λ 2 w 2 ) λ 1 A w 1 λ 2 A w 2 \mathbf vA(\lambda_1 \mathbf w_1\lambda_2 \mathbf w_2)\lambda_1 A\mathbf w_1\lambda_2 A\mathbf w_2 v′A(λ1​w1​λ2​w2​)λ1​Aw1​λ2​Aw2​ (1) 如果 A w 1 ≠ A w 2 A\mathbf w_1\neq A\mathbf w_2 Aw1​Aw2​那么 v ′ \mathbf v v′ 表示由向量 A w 1 , A w 2 A\mathbf w_1,A\mathbf w_2 Aw1​,Aw2​ 的终点确定的直线。此时矩阵 A A A 对应的线性变换把直线变成直线 (2) 如果 A w 1 A w 2 A\mathbf w_1 A\mathbf w_2 Aw1​Aw2​那么 λ 1 A w 1 λ 2 A w 2 A w 1 \lambda_1 A\mathbf w_1\lambda_2 A\mathbf w_2A\mathbf w_1 λ1​Aw1​λ2​Aw2​Aw1​ 。由于向量 A w 1 A\mathbf w_1 Aw1​ 的终点是一个确定的点因而矩阵 A A A 所对应的线性变换把直线 l l l 映射成了一个点 A w 1 A\mathbf w1 Aw1​ 。 常见的线性变换 Grant我们可以使用无限网格刻画二维空间所有点的变换。线性变换是操作空间的一种手段它能够保持网格线平行且等距并保持原点不动。 我们已经知道在线性变换的作用下直线仍然保持直线(或一个点)。为了方便我们只考虑在平面直角坐标系内单位正方形区域的线性变换。 根据向量加法的平行四边形法则单位正方形区域可用向量形式表示为 [ x y ] x i y j ( 0 ⩽ x , y ⩽ 1 ) \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}x\mathbf iy\mathbf j \quad(0\leqslant x,y\leqslant 1) [xy​]xiyj(0⩽x,y⩽1) 由线性变换基本性质知变换后的区域为 A [ x y ] x ( A i ) y ( A j ) ( 0 ⩽ x , y ⩽ 1 ) A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}x(A\mathbf i)y(A\mathbf j) \quad(0\leqslant x,y\leqslant 1) A[xy​]x(Ai)y(Aj)(0⩽x,y⩽1) 表示以 A i , A j A\mathbf i,A\mathbf j Ai,Aj 为邻边的平行四边形区域。因此我们只需考虑单位向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 在线性变换作用下的结果就能得到单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形。 恒等变换把平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 变成它本身记为 I I I 。对应的矩阵称为单位阵 [ 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0\ 0 1 \end{bmatrix} [10​01​] 旋转变换(rotations)平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 绕原点 O O O按逆时针方向旋转 θ \theta θ 角记为 R θ R{\theta} Rθ​ 。对应的矩阵为 [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] \begin{bmatrix} \cos\theta -\sin\theta\ \sin\theta \cos\theta \end{bmatrix} [cosθsinθ​−sinθcosθ​] 切变变换(shears)平行于 x x x 轴的切变变换对应的矩阵为 [ 1 k 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 k\ 0 1 \end{bmatrix} [10​k1​] 类似的平行于 y y y 轴的切变变换对应的矩阵为 [ 1 0 k 1 ] \begin{bmatrix} 1 0\ k 1 \end{bmatrix} [1k​01​] 反射变换(reflection)一般的我们把平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 关于直线 l l l 对称的线性变换叫做关于直线 l l l 的反射变换。 (1) 关于 y y y 轴的反射变换对应的矩阵为 [ − 1 0 0 1 ] \begin{bmatrix} -1 0\ 0 1 \end{bmatrix} −10​01​ 关于直线 y x yx yx 的反射变换对应的矩阵为 [ 0 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 1\ 1 0 \end{bmatrix} 01​10​ 关于直线 y k x ykx ykx 的反射变换对应的矩阵为 1 k 2 1 [ 1 − k 2 2 k 2 k k 2 − 1 ] \frac{1}{k^21}\begin{bmatrix} 1-k^2 2k\ 2k k^2-1 \end{bmatrix} k211​[1−k22k​2kk2−1​] 伸缩变换(stretching)将每个点的横坐标变为原来的 k 1 k_1 k1​ 倍纵坐标变为原来的 k 2 k_2 k2​ 倍其中 k 1 , k 2 ≠ 0 k_1,k_2\neq0 k1​,k2​0 。对应的矩阵为 [ k 1 0 0 k 2 ] \begin{bmatrix} k_1 0\ 0 k2 \end{bmatrix} [k1​0​0k2​​] 投影变换(projection)平面内任意一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y) 在直线 l l l 的投影称为关于直线 l l l 的投影变换。 (1) 关于 x x x 轴的投影变换对应的矩阵为 [ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix} 1 0\ 0 0 \end{bmatrix} 10​00​ 关于 y y y 轴的投影变换对应的矩阵为 [ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 0 0\ 0 1 \end{bmatrix} 00​01​ 关于直线 y k x ykx ykx 的投影变换对应的矩阵为 1 k 2 1 [ 1 k k k 2 ] \frac{1}{\sqrt{k^21}}\begin{bmatrix} 1 k\ k k^2 \end{bmatrix} k21 ​1​[1k​kk2​] 平移变换形如 ( x , y ) ↦ ( x h , y k ) (x,y)\mapsto (xh,yk) (x,y)↦(xh,yk) 的平移变换并不是线性变换我们无法直接使用矩阵向量乘法。对此可以引入齐次坐标平面内的每个点 ( x , y ) (x,y) (x,y) 都可以对应于空间中的点 ( x , y , 1 ) (x,y,1) (x,y,1) 。平移变换可以用齐次坐标写成变换 T : ( x , y , 1 ) ↦ ( x h , y k , 1 ) T:(x,y,1)\mapsto (xh,yk,1) T:(x,y,1)↦(xh,yk,1)对应的矩阵为 [ 1 0 h 0 1 k 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 h \ 0 1 k \ 0 0 1 \end{bmatrix} ​100​010​hk1​ ​ 复合变换与矩阵乘法 平面内任意一向量依次做旋转变换 R θ 1 : [ cos ⁡ θ 1 − sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 ] R{\theta_1}:\begin{bmatrix} \cos{\theta_1} -\sin{\theta_1}\ \sin{\theta_1} \cos{\theta1} \end{bmatrix} Rθ1​​:[cosθ1​sinθ1​​−sinθ1​cosθ1​​] 和 R θ 2 : [ cos ⁡ θ 2 − sin ⁡ θ 2 sin ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 ] R{\theta_2}:\begin{bmatrix} \cos{\theta_2} -\sin{\theta_2}\ \sin{\theta_2} \cos{\theta2} \end{bmatrix} Rθ2​​:[cosθ2​sinθ2​​−sinθ2​cosθ2​​] 很显然最终作用的效果可以用一个变换 R θ 1 θ 2 R{\theta_1\theta_2} Rθ1​θ2​​ 来表示对应的矩阵为 [ cos ⁡ ( θ 1 θ 2 ) − sin ⁡ ( θ 1 θ 2 ) sin ⁡ ( θ 1 θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 θ 2 ) ] \begin{bmatrix} \cos{(\theta_1\theta_2)} -\sin{(\theta_1\theta_2)}\ \sin{(\theta_1\theta_2)} \cos{(\theta_1\theta2)} \end{bmatrix} [cos(θ1​θ2​)sin(θ1​θ2​)​−sin(θ1​θ2​)cos(θ1​θ2​)​] 旋转变换 R θ 1 θ 2 R{\theta_1\theta_2} Rθ1​θ2​​仍然是线性变换。 一般地设矩阵 A [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] , B [ a 2 b 2 c 2 d 2 ] A\begin{bmatrix}a_1 b_1\ c_1 d_1\end{bmatrix},B\begin{bmatrix}a_2 b_2\ c_2 d_2\end{bmatrix} A[a1​c1​​b1​d1​​],B[a2​c2​​b2​d2​​]他们对应的线性变换分别为 f f f 和 g g g 。 平面上任意一个向量 v [ x y ] \mathbf v\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} v[xy​] 依次做变换 g g g 和 f f f 其作用效果为 f ( g ( v ) ) A ( B v ) f(g(\mathbf v))A(B\mathbf v) f(g(v))A(Bv) Grant线性变换的本质主要在于追踪基向量变换后的位置。 接下来我们追踪变换过程中基向量的位置。由矩阵向量乘法的定义知道基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 经过矩阵 B B B 变换后(第一次变换)的位置为 B i [ a 2 c 2 ] , B j [ b 2 d 2 ] B\mathbf i\begin{bmatrix}a_2\c_2\end{bmatrix},\quad B\mathbf j\begin{bmatrix}b_2\d_2\end{bmatrix} Bi[a2​c2​​],Bj[b2​d2​​] 基向量 B i , B j B\mathbf i,B\mathbf j Bi,Bj 又经过矩阵 A A A 变换后的最终位置为 i ′ : [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ a 2 c 2 ] a 2 [ a 1 c 1 ] c 2 [ b 1 d 1 ] [ a 1 a 2 b 1 c 2 c 1 a 2 d 1 c 2 ] j ′ : [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ b 2 d 2 ] b 2 [ a 1 c 1 ] d 2 [ b 1 d 1 ] [ a 1 b 2 b 1 d 2 c 1 b 2 d 1 d 2 ] \mathbf i:\begin{bmatrix}a_1 b_1\ c_1 d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_2\ c_2\end{bmatrix} a_2\begin{bmatrix}a_1\ c_1\end{bmatrix} c_2\begin{bmatrix}b_1\d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1a_2b_1c_2 \ c_1a_2d_1c_2\end{bmatrix} \ \mathbf j:\begin{bmatrix}a_1 b_1\ c_1 d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_2\ d_2\end{bmatrix} b_2\begin{bmatrix}a_1\ c_1\end{bmatrix} d_2\begin{bmatrix}b_1\d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1b_2b_1d_2\c_1b_2d_1d_2\end{bmatrix} i′:[a1​c1​​b1​d1​​][a2​c2​​]a2​[a1​c1​​]c2​[b1​d1​​][a1​a2​b1​c2​c1​a2​d1​c2​​]j′:[a1​c1​​b1​d1​​][b2​d2​​]b2​[a1​c1​​]d2​[b1​d1​​][a1​b2​b1​d2​c1​b2​d1​d2​​] 从而对任意向量 v [ x y ] \mathbf v\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} v[xy​] 依次做变换 B B B 和 A A A 其总体作用效果为 A ( B v ) x i ′ y j ′ [ a 1 a 2 b 1 c 2 a 1 b 2 b 1 d 2 c 1 a 2 d 1 c 2 c 1 b 2 d 1 d 2 ] [ x y ] A(B\mathbf v)x\mathbf iy\mathbf j\begin{bmatrix}a_1a_2b_1c_2 a_1b_2b_1d_2\ c_1a_2d_1c_2 c_1b_2d_1d_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} A(Bv)xi′yj′[a1​a2​b1​c2​c1​a2​d1​c2​​a1​b2​b1​d2​c1​b2​d1​d2​​][xy​] 这也是一个线性变换我们称为复合变换(composite transformation)记为 f ∘ g f\circ g f∘g 。 在此我们定义复合变换 f ∘ g f\circ g f∘g 为矩阵 A , B A,B A,B 的乘积记为 A B [ a 1 b 1 c 1 d 1 ] [ a 2 b 2 c 2 d 2 ] [ a 1 a 2 b 1 c 2 a 1 b 2 b 1 d 2 c 1 a 2 d 1 c 2 c 1 b 2 d 1 d 2 ] AB\begin{bmatrix}a_1 b_1\ c_1 d_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_2 b_2\ c_2 d_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1a_2b_1c_2 a_1b_2b_1d_2\ c_1a_2d_1c_2 c_1b_2d_1d2\end{bmatrix} AB[a1​c1​​b1​d1​​][a2​c2​​b2​d2​​][a1​a2​b1​c2​c1​a2​d1​c2​​a1​b2​b1​d2​c1​b2​d1​d2​​] 注意矩阵乘积的次序与复合变换相同从右向左相继作用。 由定义易知对任意向量 v \mathbf v v 有 ( A B ) v A ( B v ) (AB)\mathbf vA(B\mathbf v) (AB)vA(Bv) 矩阵的定义 接下来我们将矩阵的概念推广到高维空间。高维线性空间中的变换与二维空间中的变换类似。 矩阵: m × n m\times n m×n 个数按一定次序排成的数表称为矩阵 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] \begin{bmatrix} a{11}a{12}\cdotsa{1n} \ a{21}a{22}\cdotsa{2n} \ \vdots\vdots\ddots\vdots \ a{m1}a{m2}\cdotsa{mn} \ \end{bmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​ 常用大写英文字母表示矩阵如 A A A或 A m × n A{m× n} Am×n​。矩阵中的每个数 a i j a{ij} aij​ 称为它的元素(entry)有时矩阵也记作 ( a i j ) (a{ij}) (aij​) 或 ( a i j ) m × n (a{ij}){m× n} (aij​)m×n​ 。根据矩阵的元素所属的数域可以将矩阵分为复矩阵和实矩阵。 几种特殊的矩阵 元素全为零的矩阵称为零矩阵(zero matrix)记作 O O O。只有一行的矩阵称为行矩阵(row matrix)或行向量只有一列的矩阵称为列矩阵(column matrix)或列向量。行(列)矩阵通常用小写黑体字母表示如 a , x \mathbf a,\mathbf x a,x。当行数和列数相等时的矩阵 A n × n A{n\times n} An×n​ 称为** n n n 阶方阵**(n-order square matrix)。不在主对角线上的元素全为零的方阵称为对角阵(diagonal matrix)记作 d i a g ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) \mathrm{diag}(a_1,a_2,\cdots,a_n) diag(a1​,a2​,⋯,an​)主对角线上的元素全为1的对角阵称为单位阵(identity matrix)。记 n n n 阶单位阵记作 E n E_n En​或 I n In In​ 矩阵的线性运算因为矩阵 A m × n A{m\times n} Am×n​ 的各列是 m m m维向量写作 A [ a 1 a 2 ⋯ a n ] A\begin{bmatrix}\mathbf a_1\mathbf a_2\cdots\mathbf an\end{bmatrix} A[a1​​a2​​⋯​an​​] 因此矩阵可看作向量集向量的线性运算自然推广到矩阵。 设矩阵 A ( a i j ) A(a{ij}) A(aij​) 与 B ( b i j ) B(b{ij}) B(bij​) 他们的对应元素完全相同 a i j b i j a{ij}b{ij} aij​bij​则称矩阵 A A A 与 B B B 相等记作 A B AB AB矩阵的加法定义为 A B ( a i j b i j ) AB(a{ij}b{ij}) AB(aij​bij​)矩阵的数乘定义为 k A ( k a i j ) kA(ka{ij}) kA(kaij​) {% label 性质 orange %}线性运算满足以下性质 加法交换律 A B B A ABBA ABBA加法结合律 A ( B C ) ( A B ) C A(BC)(AB)C A(BC)(AB)C零矩阵 O A A OAA OAA负矩阵 A ( − A ) O A(-A)O A(−A)O数乘结合律 k ( l A ) ( k l ) A k(lA)(kl)A k(lA)(kl)A数乘分配律 k ( A B ) k A k B k(AB)kAkB k(AB)kAkB数乘分配律 ( k l ) A k A l A (kl)AkAlA (kl)AkAlA数乘单位元 1 A A 1AA 1AA 矩阵向量的乘法 矩阵与向量的乘法来源于线性变换它有着直观的、深刻的几何背景。设 m × n m\times n m×n 维矩阵 A ( a i j ) A(a_{ij}) A(aij​) 与 n n n维向量 v ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \mathbf v(x_1,x_2,\cdots,xn)^T v(x1​,x2​,⋯,xn​)T 的乘积 [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] [ x 1 x 2 ⋮ x n ] x 1 [ a 11 a 21 ⋮ a m 1 ] ⋯ x n [ a 1 n a 2 n ⋮ a m n ] [ ∑ j 1 n a 1 j x j ∑ j 1 n a 2 j x j ⋮ ∑ j 1 n a m j x j ] \begin{bmatrix} a{11}a{12}\cdotsa{1n} \ a{21}a{22}\cdotsa{2n} \ \vdots\vdots\ddots\vdots \ a{m1}a{m2}\cdotsa{mn} \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\x_2\\vdots\x_n\end{bmatrix} x1\begin{bmatrix}a{11}\a{21}\\vdots\a{m1}\end{bmatrix}\cdots xn\begin{bmatrix}a{1n}\a{2n}\\vdots\a{mn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\sum{j1}^na{1j}xj\\sum{j1}^na_{2j}xj\\vdots\\sum{j1}^na_{mj}xj\end{bmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​ ​x1​x2​⋮xn​​ ​x1​ ​a11​a21​⋮am1​​ ​⋯xn​ ​a1n​a2n​⋮amn​​ ​ ​∑j1n​a1j​xj​∑j1n​a2j​xj​⋮∑j1n​amj​xj​​ ​ 一般地 m × n m\times n m×n 维的矩阵表示将 n n n 维空间中的向量映射到 m m m 维空间中。矩阵的第 j j j列表示第 j j j 个基向量变换后的坐标。 矩阵乘法矩阵与矩阵乘法来源于复合线性变换。设矩阵 A ( a i j ) m × n A(a{ij}){m\times n} A(aij​)m×n​与 B ( b i j ) n × p B(b{ij})_{n\times p} B(bij​)n×p​向量 v ( x 1 , x 2 , ⋯ , x p ) \mathbf v(x_1,x_2,\cdots,x_p) v(x1​,x2​,⋯,xp​) 用 b 1 , b 2 , ⋯ , b p \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_p b1​,b2​,⋯,bp​表示矩阵 B B B 的各列则 B v x 1 b 1 x 2 b 2 ⋯ x p b p B\mathbf vx_1\mathbf b_1x_2\mathbf b_2\cdotsx_p\mathbf b_p Bvx1​b1​x2​b2​⋯xp​bp​ 由线性变换的性质 A ( B v ) A ( x 1 b 1 ) A ( x 2 b 2 ) ⋯ A ( x p b p ) x 1 A b 1 x 2 A b 2 ⋯ x p A b p [ A b 1 A b 2 ⋯ A b p ] v \begin{aligned} A(B\mathbf v)A(x_1\mathbf b_1)A(x_2\mathbf b_2)\cdotsA(x_p\mathbf b_p) \ x_1A\mathbf b_1x_2A\mathbf b_2\cdotsx_pA\mathbf b_p \ \begin{bmatrix}A\mathbf b_1A\mathbf b_2\cdotsA\mathbf b_p\end{bmatrix}\mathbf v \end{aligned} A(Bv)​A(x1​b1​)A(x2​b2​)⋯A(xp​bp​)x1​Ab1​x2​Ab2​⋯xp​Abp​[Ab1​​Ab2​​⋯​Abp​​]v​ 于是可定义矩阵的乘积 A B AB AB 为 m × p m\times p m×p 矩阵 A B A [ b 1 b 2 ⋯ b p ] [ A b 1 A b 2 ⋯ A b p ] ABA\begin{bmatrix}\mathbf b_1\mathbf b_2\cdots\mathbf b_p\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A\mathbf b_1A\mathbf b_2\cdotsA\mathbf bp\end{bmatrix} ABA[b1​​b2​​⋯​bp​​][Ab1​​Ab2​​⋯​Abp​​] 矩阵 A A A的列数必须和 B B B 的行数相等乘积才有意义 。之前定义的矩阵向量乘法是矩阵乘法的特例。通常更方便的方法是用元素定义矩阵乘法。设乘积 A B ( c i j ) m × p AB(c{ij}){m× p} AB(cij​)m×p​。则元素 c i j a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j ⋯ a i p b p j c{ij}a{i1}b{1j}a{i2}b{2j}\cdotsa{ip}b{pj} cij​ai1​b1j​ai2​b2j​⋯aip​bpj​ {% label 性质 orange %}矩阵乘法满足以下性质 矩阵乘法满足结合率 A ( B C ) ( A B ) C A(BC)(AB)C A(BC)(AB)C矩阵乘法满足左分配律 A ( B C ) A B A C A(BC)ABAC A(BC)ABAC矩阵乘法满足右分配律 ( B C ) A B A C A (BC)ABACA (BC)ABACA矩阵乘法满足数乘分配律 k ( A B ) ( k A ) B A ( k B ) k(AB)(kA)BA(kB) k(AB)(kA)BA(kB)矩阵乘法单位元 I A A I A IAAIA IAAIA 证明(1) 可从矩阵乘法的定义证明满足结合率。从线性变换角度来看对于复合变换 A ( B C ) A(BC) A(BC) 和 ( A B ) C (AB)C (AB)C 是同样的变换且依次作用的顺序并不会发生改变变换的最终结果自然不变。 v → C C v → B B C v → A A B C v \mathbf v\xrightarrow{C}C\mathbf v\xrightarrow{B}BC\mathbf v\xrightarrow{A}ABC\mathbf v vC ​CvB ​BCvA ​ABCv 注意 矩阵乘法不满足交换率即一般情况下 A B ≠ B A AB\neq BA ABBA矩阵乘法不满足消去率即若 A B A C ABAC ABAC不能推出 B C BC BC 同样由 A B O ABO ABO不能推出 A O AO AO 或 B O BO BO。 证明(1) 一般地复合变换 f ∘ g ≠ g ∘ f f\circ g\neq g\circ f f∘gg∘f 自然 A B ≠ B A AB\neq BA ABBA矩阵乘法不满足交换率。 (2) 可举例证明矩阵乘法不满足消去率 设矩阵 A [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] , B [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] A\begin{bmatrix}010\ 001\ 001\end{bmatrix},\quad B\begin{bmatrix}001\ 000\ 000\end{bmatrix} A ​000​100​011​ ​,B ​000​000​100​ ​ 则有 A B [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] O B A [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 ] [ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ] ≠ O AB\begin{bmatrix}010\ 001\ 001\end{bmatrix} \begin{bmatrix}001\ 000\ 000\end{bmatrix} \begin{bmatrix}000\ 000\ 000\end{bmatrix}O \ BA\begin{bmatrix}001\ 000\ 000\end{bmatrix} \begin{bmatrix}010\ 001\ 001\end{bmatrix} \begin{bmatrix}001\ 000\ 000\end{bmatrix}\neq O AB ​000​100​011​ ​ ​000​000​100​ ​ ​000​000​000​ ​OBA ​000​000​100​ ​ ​000​100​011​ ​ ​000​000​100​ ​O 列空间与基 定义为方便使用先介绍几个简单的定义 线性变换是一种映射称变换后的向量 T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 为向量 v \mathbf v v 在映射 T T T 下的像而称 v \mathbf v v 为 T ( v ) T(\mathbf v) T(v) 在映射 T T T 下的原像。线性变换 T T T 的像集 T ( V ) T(V) T(V)是一个线性空间称为线性变换 T T T 的值域记作 range ( T ) { T ( v ) ∣ v ∈ V } \text{range}(T){T(\mathbf v)\mid\mathbf v\in V} range(T){T(v)∣v∈V}在前面几节的分析中我们始终将矩阵的列看成是向量。而这些列向量所张成的空间称为列空间若 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n) A(a1​,a2​,⋯,an​) col  A span { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } \text{col }A\text{span}{\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n} col Aspan{a1​,a2​,⋯,an​} 我们已经知道变换后的向量 A v A\mathbf v Av 是变换后的基向量以同样的系数线性组合而矩阵的列就是基向量变换之后的位置。因此矩阵 A A A 线性变换后的空间即是矩阵 A A A 的列空间 col  A range  A { A v ∣ v ∈ V } \text{col }A\text{range }A{A\mathbf v\mid\mathbf v\in V} col Arange A{Av∣v∈V} 定理矩阵 A A A 的主元列构成 col  A \text{col }A col A 的一组基。 下面两个例子给出对列空间求基的简单算法。 例1求 Col  B \text{Col }B Col B 的一组基其中 B ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) [ 1 4 0 2 0 0 0 1 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ] B(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n)\begin{bmatrix}14020\ 001-10\ 00001\00000\end{bmatrix} B(b1​,b2​,⋯,bn​) ​1000​4000​0100​2−100​0010​ ​ 事实上 B B B 的每个非主元列都是主元列的线性组合 b 2 4 b 1 , b 4 2 b 1 − b 3 \mathbf b_24\mathbf b_1,\mathbf b_42\mathbf b_1-\mathbf b_3 b2​4b1​,b4​2b1​−b3​ 且主元列时线性无关的所以主元列构成列空间的一组基 col  B span  { b 1 , b 3 , b 5 } \text{col }B\text{span }{\mathbf b_1,\mathbf b_3,\mathbf b_5} col Bspan {b1​,b3​,b5​} 。 当矩阵不是阶梯型矩阵时回顾矩阵 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n) A(a1​,a2​,⋯,an​) 中列向量间的线性关系都可以用方程 A x 0 A\mathbf x0 Ax0 的形式刻画。当 A A A 被行简化为阶梯型矩阵 B ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) B(\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_n) B(b1​,b2​,⋯,bn​) 时即存在可逆矩阵 P P P 使 B P A BPA BPA 。若 B B B 的列向量线性相关即存在系数 x \mathbf x x 使得 B x 0 B\mathbf x0 Bx0 即 x 1 b 1 x 2 b 2 ⋯ x n b n 0 x_1\mathbf b_1x_2\mathbf b_2\cdotsx_n\mathbf b_n0 x1​b1​x2​b2​⋯xn​bn​0 同样的系数 x \mathbf x x 也适用于矩阵 A A A 的列向量 A x P − 1 B x 0 A\mathbf xP^{-1}B\mathbf x0 AxP−1Bx0即 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n 0 x_1\mathbf a_1x_2\mathbf a_2\cdotsx_n\mathbf a_n0 x1​a1​x2​a2​⋯xn​an​0 综上即矩阵 A A A的列与阶梯型矩阵 B B B 的列具有完全相同的线性相关关系。 例2 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) [ 1 4 0 2 − 1 3 12 1 5 5 2 8 1 3 2 5 20 2 8 8 ] A(\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n)\begin{bmatrix}1402-1\ 312155\ 28132\520288\end{bmatrix} A(a1​,a2​,⋯,an​) ​1325​412820​0112​2538​−1528​ ​ 已知矩阵 A A A 行等价于上例中的矩阵 B B B 求 Col  A \text{Col }A Col A 的一组基。 由于上例中 b 2 4 b 1 , b 4 2 b 1 − b 3 \mathbf b_24\mathbf b_1,\mathbf b_42\mathbf b_1-\mathbf b_3 b2​4b1​,b4​2b1​−b3​ 相关关系完全适用于矩阵 A A A 的列向量 a 2 4 a 1 , a 4 2 a 1 − a 3 \mathbf a_24\mathbf a_1,\mathbf a_42\mathbf a_1-\mathbf a_3 a2​4a1​,a4​2a1​−a3​ 。于是线性无关集 a 1 , a 3 , a 5 \mathbf a_1,\mathbf a_3,\mathbf a_5 a1​,a3​,a5​ 是 Col  A \text{Col }A Col A 的一组基 col  A span  { a 1 , a 3 , a 5 } \text{col }A\text{span }{\mathbf a_1,\mathbf a_3,\mathbf a_5} col Aspan {a1​,a3​,a5​}。 注意阶梯形矩阵的主元列通常不在原矩阵的列空间中。 矩阵的秩 矩阵的秩就是列空间的维度记作 rank  A dim ⁡ ( col  A ) \text{rank }A\dim(\text{col }A) rank Adim(col A)。 前面介绍的都是方阵表示向量空间到自身的映射。下面简单说下非方阵的映射关系。 一般地 m × n m\times n m×n 维的矩阵表示将 n n n 维空间中的向量映射到 m m m 维空间中。矩阵的第 j j j列表示第 j j j 个基向量变换后的坐标。例如 3 × 2 3\times 2 3×2 维矩阵是把二维空间映射到三维空间上因为矩阵有两列说明输入空间有两个基向量三行表示每一个基向量在变换后用三个独立的坐标来描述。 [ 1 − 1 3 2 0 3 ] [ x y ] [ 1 3 0 ] x [ − 1 2 3 ] y \begin{bmatrix}1-1\32\03\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\3\0\end{bmatrix}x \begin{bmatrix}-1\2\3\end{bmatrix}y ​130​−123​ ​[xy​] ​130​ ​x ​−123​ ​y 2 × 3 2\times 3 2×3 维矩阵是把三维空间映射到二维空间上因为矩阵有三列说明输入空间有三个基向量二行表示每一个基向量在变换后用二个独立的坐标来描述。 [ 2 2 1 1 0 − 1 ] [ x y z ] [ 2 1 ] x [ 2 0 ] y [ 1 − 1 ] z \begin{bmatrix}221\10-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2\1\end{bmatrix}x \begin{bmatrix}2\0\end{bmatrix}y \begin{bmatrix}1\-1\end{bmatrix}z [21​20​1−1​] ​xyz​ ​[21​]x[20​]y[1−1​]z 若矩阵的秩等于列数则称为满秩矩阵(full rank matrix)零向量一定在列空间内满秩变换中唯一能落在原点的就是零向量自身。满秩矩阵的列即为列空间的基。 对于非满秩矩阵意味着该线性变换会将空间压缩到一个更低维的空间通俗来讲就是会有一系列直线上不同方向的向量压缩为原点。 由此可得秩可以用来描述线性变换对空间的压缩程度。 逆变换与逆矩阵 我们已经知道了矩阵与线性变换中的对应关系试想一下将变换后的向量还原到初始状态。 逆矩阵对于 n n n 阶方阵 A A A 如果存在 n n n 阶方阵 B B B 使得 A B B A I ABBAI ABBAI 则称矩阵 A A A 可逆(invertible) B B B 是 A A A 的逆矩阵。实际上 A A A 的逆矩阵是唯一的记为 A − 1 A^{-1} A−1。因为若 B , C B,C B,C 都是 A A A 的逆矩阵则 B ( C A ) B C ( A B ) C B(CA)BC(AB)C B(CA)BC(AB)C 不可逆矩阵有时称为奇异矩阵而可逆矩阵也称为非奇异矩阵。 {% label 性质 orange %}逆矩阵满足下列性质 ( A − 1 ) − 1 A (A^{-1})^{-1}A (A−1)−1A ( k A ) − 1 1 k A − 1 , ( k ≠ 0 ) (kA)^{-1}\dfrac{1}{k}A^{-1},\quad(k\neq0) (kA)−1k1​A−1,(k0) ( A B ) − 1 B − 1 A − 1 (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1} (AB)−1B−1A−1 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}(A^{-1})^T (AT)−1(A−1)T 证明(性质3)若方阵 A , B A,B A,B 都可逆则有 ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) ( B − 1 A − 1 ) ( A B ) I (AB)(B^{-1}A^{-1})(B^{-1}A^{-1})(AB)I (AB)(B−1A−1)(B−1A−1)(AB)I 因此 ( A B ) − 1 B − 1 A − 1 (AB)^{-1}B^{-1}A^{-1} (AB)−1B−1A−1 。 从变换的角度考虑复合变换的逆 ( f ∘ g ) − 1 g − 1 ∘ f − 1 (f\circ g)^{-1}g^{-1}\circ f^{-1} (f∘g)−1g−1∘f−1 很容易理解。 (性质4) I ( A A − 1 ) T ( A − 1 ) T A T , I ( A − 1 A ) T A T ( A − 1 ) T I(AA^{-1})^T(A^{-1})^TA^T,\quad I(A^{-1}A)^TA^T(A^{-1})^T I(AA−1)T(A−1)TAT,I(A−1A)TAT(A−1)T 因此 ( A T ) − 1 ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}(A^{-1})^T (AT)−1(A−1)T 。