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沧州推广建站,梅州建站规划,用自己的电脑做服务器搭建网站,百度客户端下载安装点击上方“小白学视觉”#xff0c;选择加星标或“置顶” 重磅干货#xff0c;第一时间送达SVD(Singular Value Decomposition)奇异值分解分解是机器学习中最重要的矩阵分解方法。 它能够将一个任意形状的矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵以及另一个正交矩阵… 点击上方“小白学视觉”选择加星标或“置顶” 重磅干货第一时间送达 SVD(Singular Value Decomposition)奇异值分解分解是机器学习中最重要的矩阵分解方法。 它能够将一个任意形状的矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵以及另一个正交矩阵的乘积。 SVD分解具有非常深刻的几何含义。矩阵实际上对应着一种线性变换一个矩阵作用到一个向量上会得到一个新的向量。任何一个矩阵的操作效果可以分解成一次旋转一次拉伸和维度改变以及另外一次旋转三者作用效果的合成。 SVD分解通常用于数据压缩和数据降维。用于数据降维时既可以对列降维也可以对行降维其中对列的降维等价于PCA的降维。 不仅如此SVD算法还可以用于在声音和图像处理中剥离背景信号在推荐算法中也经常出现它的身影。 一SVD矩阵分解简介 SVD分解将任意矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵以及另一个正交矩阵的乘积。 对角矩阵的对角元称为矩阵的奇异值可以证明奇异值总是大于等于0的。 当对角矩阵的奇异值按从大到小排列时SVD分解是唯一的。 SVD分解有着非常深刻的几何含义。 矩阵实际上是对应着一种线性变换。一个矩阵作用到一个向量上会得到一个新的向量。任何一个矩阵的操作效果可以分解成一次旋转一次拉伸和维度改变以及另外一次旋转三者作用效果的合成。 注意正交矩阵和作用到向量后是不会改变向量长度的所以对应着旋转变换。 二SVD分解的数学推演  可以推出 依然是对角矩阵又U为正交矩阵。 所以 为AA^T的相似对角矩阵其对角元为AA^T的特征值U由其对应特征向量构成这些向量称为A的左奇异向量。 因此的对角元为AA^T特征值的平方根称之为矩阵A的奇异值。 类似地V由A^TA的特征向量构成这些向量称为A的右奇异向量。 三SVD分解和数据压缩 奇异值描述了矩阵对应的拉伸变换在各个方向的比例是矩阵的重要特征。 奇异值的分布通常非常不均在很多的情况下前10%甚至1%的奇异值之和就占了全部奇异值之和的99%以上。 因此我们可以用前个大的奇异值来近似的描述矩阵。 这就是SVD分解用来进行数据压缩的原理。 假设 m 10000,n 8000,原来存储矩阵A需要存储8000万个数字如果经过奇异值分解发现前100个奇异值贡献了99%的奇异值之和于是可以近似只保留这100个奇异值及对应的左右奇异向量那么只需要保留10010000×100100×8000 180.01万个数字只有原来的不到2.3%。 # 下面的范例示范SVD分解用于图片数据压缩。 %matplotlib inline  %config InlineBackend.figure_format  svg import numpy as np  from matplotlib import pyplot as plt from skimage import datadef compressBySVD(img,r):u,s,vt  np.linalg.svd(img)ur  u[:,0:r]sr  s[0:r]vtr  vt[0:r,:]return (ur,sr,vtr)def rebuildFromSVD(ur,sr,vtr):img  urnp.diag(sr)vtrreturn(img)img  data.camera()/255.0plt.figure(figsize(10,8))  for i,r in enumerate([5,10,20,30,40,50,100,200],start  1):ur,sr,vtr  compressBySVD(img,r)compress_ratio  (np.product(ur.shape)  len(sr)  np.product(vtr.shape))/np.product(img.shape)img_rebuild  rebuildFromSVD(ur,sr,vtr)axplt.subplot(3,3,i)ax.imshow(img_rebuild,cmap  gray)ax.set_title(r%d%r, compress_ratio%.2f%compress_ratio)ax.set_xticks([])ax.set_yticks([]) ax  plt.subplot(3,3,9) ax.imshow(img,cmap  gray) ax.set_title(r  512, original image) ax.set_xticks([]) ax.set_yticks([]) plt.show()四SVD分解和PCA降维 PCA降维可以看成是SVD分解的一个应用。PCA降维使用的变换矩阵恰好是SVD分解的右奇异矩阵。 实际上由于SVD分解存在着无需通过计算特征值和特征向量的可并行的数值迭代计算算法sklearn的PCA降维算法正是通过SVD分解计算的。 下面证明SVD分解的右奇异向量构成的矩阵恰好是PCA算法所需要的正交变换矩阵。 假定PCA对应的正交变换矩阵为根据PCA算法的数学原理 由协方差矩阵 的各个特征向量组成它能够将协方差矩阵相似对角化。 其中为的相似对角矩阵且对角元由大到小排列。 利用的SVD矩阵分解: 我们有 根据SVD分解的数学原理也是 的相似对角矩阵且对角元由大到小排列。 于是有 于是右奇异向量构成的矩阵 ???? 恰好是PCA算法所需要的正交变换矩阵 ????。 注意到PCA算法实际上是一种列降维的方法实际上利用SVD分解的左奇异矩阵也可以对矩阵进行行降维。 # 演示SVD用于PCA降维的计算%matplotlib inline  %config InlineBackend.figure_format  svg import numpy as np  from sklearn.decomposition import PCAfrom matplotlib import pyplot as plt from skimage import dataX  np.array([[-1.0, -3, -2], [-2, -1, -3], [-3, -2, -5], [2, 1, 3], [6, 1, 3], [2, 2, 3]])pca  PCA(n_components 2) X_new  pca.fit_transform(X) print(\ndecomposition by pca:) print(singular value:) print(pca.singularvalues) print(X_new:) print(X_new)print(\ndecomposition by svd:) U,S,Vt  np.linalg.svd(X-X.mean(axis  0)) print(singular value:\n,S[:2]) print(X_new:) print(np.dot(X-X.mean(axis  0),np.transpose(Vt)[:,0:2]))# 注降维结果中正负号的差异是因为PCA调整了SVD分解后的U和Vt符号以保持各列最大值取正输出如下 decomposition by pca: singular value: [11.31375337  2.89544001] X_new: [[ 3.23378083  1.06346839][ 3.88607412 -0.50763321][ 6.25267378  0.08479886][-3.50509914 -0.96584476][-6.02398361  1.89494314][-3.84344598 -1.56973242]]decomposition by svd: singular value:[11.31375337  2.89544001] X_new: [[-3.23378083 -1.06346839][-3.88607412  0.50763321][-6.25267378 -0.08479886][ 3.50509914  0.96584476][ 6.02398361 -1.89494314][ 3.84344598  1.56973242]] 下载1OpenCV-Contrib扩展模块中文版教程 在「小白学视觉」公众号后台回复扩展模块中文教程即可下载全网第一份OpenCV扩展模块教程中文版涵盖扩展模块安装、SFM算法、立体视觉、目标跟踪、生物视觉、超分辨率处理等二十多章内容。 下载2Python视觉实战项目52讲 在「小白学视觉」公众号后台回复Python视觉实战项目即可下载包括图像分割、口罩检测、车道线检测、车辆计数、添加眼线、车牌识别、字符识别、情绪检测、文本内容提取、面部识别等31个视觉实战项目助力快速学校计算机视觉。 下载3OpenCV实战项目20讲 在「小白学视觉」公众号后台回复OpenCV实战项目20讲即可下载含有20个基于OpenCV实现20个实战项目实现OpenCV学习进阶。 交流群 欢迎加入公众号读者群一起和同行交流目前有SLAM、三维视觉、传感器、自动驾驶、计算摄影、检测、分割、识别、医学影像、GAN、算法竞赛等微信群以后会逐渐细分请扫描下面微信号加群备注”昵称学校/公司研究方向“例如”张三  上海交大  视觉SLAM“。请按照格式备注否则不予通过。添加成功后会根据研究方向邀请进入相关微信群。请勿在群内发送广告否则会请出群谢谢理解~