自建网站管理网络营销模式有哪些？

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自建网站管理,网络营销模式有哪些?,南宁市网上注册公司流程,涨粉 wordpress原视频地址#xff1a;2022浙江大学信号与系统#xff08;含配套课件和代码#xff09; - 胡浩基老师-哔哩哔哩 ⭐⭐⭐ 我的笔记#xff1a;飞书链接 - 信号与系统 基于视频#xff0c;记得笔记#xff0c;加了点自己的补充#xff08;有的是问 ChatGPT 的#xff09;…原视频地址2022浙江大学信号与系统含配套课件和代码 - 胡浩基老师-哔哩哔哩 ⭐⭐⭐ 我的笔记飞书链接 - 信号与系统 基于视频记得笔记加了点自己的补充有的是问 ChatGPT 的 暂时还没看完记录下 里面挺多数学内容的 豆瓣 —— 信号与系统 https://pan.baidu.com/s/1Q5x7FZos3RytvNkUeN5Tkg?pwd6666 暂时无法在飞书文档外展示此内容 暂时无法在飞书文档外展示此内容 2022浙江大学信号与系统含配套课件和代码 - 胡浩基老师-哔哩哔哩 《信号与系统》期末复习速成课资源-哔哩哔哩 绪论 本次课程的特色是 对理论有严格的推导着重于理论和实践的结合注意一维信号和二维信号相结合用实践和理论统一离散和连续信号的知识体系给了较多matlab编程训练。 什么是信号 —— 信息的载体 信号 —— 表达、传递信息的符号 (举例) 1长城的烽火 2书信、便条 3人的表情、动作、语言。 4光、电的变化 (重点) 什么是信息 —— 减少不确定 1948年美国数学家、信息论的创始人香农在题为“通讯的数学理论”的论文中指出“信息是用来消除随机不定性的东西”。 对香农观点的直观化解释信息就是这样一种东西我们有了它以后对某件事情的不确定度降低。 信息量一个事情的概率越小其信息量就越大比如中国男足在世界杯获得冠军信息量很大 信息量公式 − l o g [ p ( x ) ] -log[p(x)] −log[p(x)] [图片] 缺点假定任何事情都有一个概率 我们无法对自然界发生的所有的事情赋予一个概率 信息是什么没有一个统一的理论 但是讲课的时候我们不去讨论信息是什么假定大家知道信息在说什么。 信息的多种表达方式 同样一个信息我们有很多种表达和传递的方式我们可以规划出很多信号来表达和传递同样的信息 比如给你要通知一件事情给另一个人 1写信 2找人带话 3写EMAIL (4) 打电话 5其他 信息的优劣之分 —— 成本、简介、速度、可靠 问题 表达同一信息的不同信号是否有优劣之分 (1)有优劣由我们的目的确定。 (2)一般来说我们倾向于不需要媒质、成本低、简洁、传输速度快、传输可靠的信号。(光、电的变化成本低无数人努力的结果) (3)你能举出反例吗什么时候我们需要成本高、复杂、传输速度慢、传输不可靠的信号 老师上课、DNA 传递、研究 人类或者哺乳动物的繁衍是故意让速度慢的故意有随机性的 为了 —— 保持基因多样性 基因的多样性保持是需要随机的 这样一个灾难一个疾病过来才不会打倒整个种群 1有没有一些标准的知识、原则和经验来设计、产生这样的信号 2这些信号具有怎样的特点和性质。 什么是系统 —— 输入、系统、输出 六个字 – 有输入、有输出 input, output [图片] 信号与系统 – 这门课为什么对本专业这么重要 —— 通用 我们专业所做的所有事情都可以归结到产生信号 - 设计系统 - 输出新的信号 这一过程。 系统拆分 1可将一个复杂系统分解为若干基本系统。 2设计这些基本系统。 3基本系统级联起来构成复杂系统。 在日常生活中我们搭建的很多电子的系统拆成最小的模块竟然是一样的 信号与系统课程学习的主要内容 内容一研究如何产生成本低、简洁、传输速度快、传输可靠的信号 这样的信号有什么特点和性质。 内容二学习设计系统的知识学习预测系统性质的具体知识 典型信号 离散x[n]为什么 n 是 1、2、31.5 不行吗 n 只是一个名字用 1.5 当然可以但还是 1、2、3 的意义所以为了简单1、2、3 就行了且为了表达的统一 证明 ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t π 2 \int{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt \frac{\pi}{2} ∫0∞​tsint​dt2π​ [图片] [图片] I ∫ 0 ∞ ( e − ( a j ) t − e − ( a − j ) t ) d t I \int{0}^{\infty} \left(e^{-(aj)t} - e^{-(a-j)t}\right) dt I∫0∞​(e−(aj)t−e−(a−j)t)dt 将其拆分 I ∫ 0 ∞ e − ( a j ) t d t − ∫ 0 ∞ e − ( a − j ) t d t I \int{0}^{\infty} e^{-(aj)t} dt - \int{0}^{\infty} e^{-(a-j)t} dt I∫0∞​e−(aj)tdt−∫0∞​e−(a−j)tdt 指数函数的不定积分公式 ∫ e − k t d t − 1 k e − k t C ( k ≠ 0 ) \int e^{-kt} dt -\frac{1}{k} e^{-kt} C \quad (k \neq 0) ∫e−ktdt−k1​e−ktC(k0) 所以 I [ − 1 a j e − ( a j ) t ] 0 ∞ − [ − 1 a − j e − ( a − j ) t ] 0 ∞ 0 − ( − 1 a − j ) − [ 0 − ( − 1 a − j ) ] 1 a j − 1 a − j ( a − j ) − ( a j ) ( a j ) ( a − j ) − 2 j a 2 − j 2 I \left[-\frac{1}{aj} e^{-(aj)t} \right]{0}^{\infty} - \left[-\frac{1}{a-j} e^{-(a-j)t} \right]{0}^{\infty} \ 0 - \left(-\frac{1}{a-j}\right) - [0 - \left(-\frac{1}{a-j}\right)] \ \frac{1}{aj} - \frac{1}{a-j} \ \frac{(a-j) - (aj)}{(aj)(a-j)} \ \frac{-2j}{a^2 - j^2} I[−aj1​e−(aj)t]0∞​−[−a−j1​e−(a−j)t]0∞​0−(−a−j1​)−[0−(−a−j1​)]aj1​−a−j1​(aj)(a−j)(a−j)−(aj)​a2−j2−2j​ 因为 I ( a ) ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t e − a t d t I(a) \int{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-at} dt I(a)∫0∞​tsint​e−atdt求其积分可得到 d I ( a ) d a − 1 a 2 1 \frac{dI(a)}{da}-\frac{1}{a^21} dadI(a)​−a211​因此 I ( a ) − a r c t a n ( a ) C I(a) -arctan(a) C I(a)−arctan(a)C 证明 ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t π 2 \int{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt \frac{\pi}{2} ∫0∞​tsint​dt2π​就是求 I ( 0 ) ∫ 0 ∞ sin ⁡ t t d t I(0) \int{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} dt I(0)∫0∞​tsint​dt 的值等于多少先看看 I ( ∞ ) I(∞) I(∞) 将 ∞ 代入 I ( a ) ∞ 代入 I(a) ∞代入I(a) I ( ∞ ) I(∞) I(∞) 的时候 e − a t − 0 e^{-at} - 0 e−at−0 因此积分后 I ( ∞ ) 0 I(∞) 0 I(∞)0 因此 I ( ∞ ) − a r c t a n ( ∞ ) C 0 I(∞) - arctan(∞) C 0 I(∞)−arctan(∞)C0 $$arctan(0)0 \ arctan(∞) \frac{\pi}{2} \ arctan(−∞) -\frac{\pi}{2} \ 所以 所以 所以C \frac{\pi}{2} 所以 所以 所以I(a) \int{0}^{\infty} \frac{\sin t}{t} e^{-at} dt -arctan(a) \frac{\pi}{2} 然后求 然后求 然后求I(0) \int{0}^{\infty} \frac{sin(t)}{t}e^{-0t}dt - arctan(0) \frac{\pi}{2} \frac{\pi}{2} 所以得证 所以得证 所以得证\int{0}^{\infty} \frac{sin(t)}{t}dt \frac{\pi}{2}$\( 信号的自变量变换 [图片] [图片] 思路 x(3t6) 中3t 6t 多少3t 6 0 ? -2 同理t -1, 3t6 3t 0, 3t 6 6 做这类题目的口诀 (1)化成标准形式。 (2)前有负号翻转。 (3)系数大于1压缩系数小于1拉伸 (4)加号左移减号右移 [图片] [图片] [图片] 这里的 x(t) 是针对任何图像的这就厉害了如 [图片] [图片] [图片] 典型的系统 线性系统 定义 [图片] [图片] 证明 [图片] [图片] 同理下面的 x1(t) x2(t) - y1(t) y2(t) 也是任意的 因此x1(t) 可以用 ax1(t) 表示 例子 [图片] [图片] 判据 [图片] 时不变系统 定义 系统的输出不会随着时间的变化而改变 [图片] [图片] [图片] 例子 y(t) x(2t) 是时不变系统吗 为什么我图中的证明是时不变系统有什么问题吗 [图片] 从上面的步骤可以看出当我们对输入 x(t) 延迟 t0 之后得到的输出 y′(t) 确实等于原始输出 y(t) 延迟相同的 t 时间 因此就这一点而言似乎系统是时不变的。 然而这里有一个重要的细节需要注意在 y(t)x(2t) 中时间被缩放了。 这意味着该系统实际上是一个时变系统Time-Variant System, TVS。 因为对于时不变系统延迟 t 的输入应该产生与原始输出相同的波形只是简单地整体移动了 t 时间单位而不会改变波形的形状或频率内容 但在本例中由于时间被缩放所以即使输出看起来像是正确延迟了 t 其内部的时间尺度已经改变了这等效于改变了波形的频率成分这是时变系统的一个特征。 因此y(t)x(2t) 是一个时变系统 [图片] 判据 [图片] 线性时不变(LTI)系统的定义 世界上没有绝对意义的线性 比如喇叭 我电流 1 倍输出声音 1 倍电流 2输出 2但是电流 100、99999 输出也是吗 总有一个极限输入 2 个人声音输出 2 个人声音输入 999、999999 个声音还能原封不动输出吗 线性只是对于现实问题的近似 为什么研究线性系统我们才可以进行分析不然没办法分析从而得到感性认识 比如摩檫力只是一种近似如果不这样表达怎么出题呢 如果不这样做我们就没法分析了只是近似的分析仅仅是得到感性的认识 —— 这也是我们为什么研究线性系统 [图片] 为什么研究时不变系统只能研究这个。。。也是近似的假设 如果不研究时不变的我们如何去研究时变系统呢根本研究不出来因为今天这样明天那样 因此时不变也是对自然界中一个近似的假设 LTI 很简单 如果我们知道 LTI 系统的一个 x(t) 对应的 y(t) 那么我们就知道了所以 x(t) 对应的 y(t) 离散 LTI 系统卷积公式推导 单位脉冲响应 x[n] δ[n]x[n] - LTI系统 h[n] h[n]单位脉冲响应 非常特殊只要知道 h[n] —— 其他信号输入 LTI 系统的都能算出其 yn: y [ n ] x [ n ] ∗ h [ n ] y[n] x[n] * h[n] y[n]x[n]∗h[n]*卷积 [图片] 列表法举例 [图片] 取值范围取最边缘的包含关系 比如图中的例子-1 哪里单算 -1 * h[n]范围是 -1(x[n]) -1(h[n]) -2同理2 哪里单算 2 * h[n]范围是 2(x[n]) 2(h[n]) 4 一个题目 x[n] a^n · u[n] [图片] [图片] ( 1 − a ) ( 1 a a 2 . . . a n ) 1 ⋅ ( 1 a a 2 . . . a n ) − a ⋅ ( 1 a a 2 . . . a n ) ( 1 a a 2 . . . a n ) − ( a a 2 . . . a n 1 ) 1 − a n 1 (1-a)(1aa^2...a^n) \\ 1⋅(1aa^2...a^n)−a⋅(1aa^2...a^n) \\ (1aa^2...a^n) - (aa^2...a^{n1})\\ 1 - a^{n1} (1−a)(1aa2...an)1⋅(1aa2...an)−a⋅(1aa2...an)(1aa2...an)−(aa2...an1)1−an1 列表法计算复杂度 [图片] 加法 1 2 3 . . . ( N − 1 ) ( N − 2 ) . . . 1 1 2 3 ... (N - 1) (N - 2) ... 1 123...(N−1)(N−2)...1 根据等差数列求和公式 S n n 2 ( a a n ) S_n \frac{n}{2}(a a_n) Sn​2n​(aan​) 前半部分求和结果为 N − 1 2 ( 1 N − 1 ) ( N − 1 ) N 2 \frac{N-1}{2}(1 N - 1) \frac{(N-1)N}{2} 2N−1​(1N−1)2(N−1)N​后半部分求和结果为 N − 2 2 ( 1 N − 2 ) ( N − 2 ) ( N − 1 ) 2 \frac{N-2}{2}(1 N - 2) \frac{(N-2)(N-1)}{2} 2N−2​(1N−2)2(N−2)(N−1)​总 ( N − 1 ) N 2 ( N − 2 ) ( N − 1 ) 2 N 2 − N 2 N 2 − 3 N 2 2 2 N 2 − 4 N 2 2 N 2 − 2 N 1 ( N − 1 ) 2 \frac{(N-1)N}{2} \frac{(N-2)(N-1)}{2} \frac{N^2-N}{2} \frac{N^2-3N 2}{2} \frac{2N^2-4N2}{2} N^2-2N1(N-1)^2 2(N−1)N​2(N−2)(N−1)​2N2−N​2N2−3N2​22N2−4N2​N2−2N1(N−1)2 计算复杂度为 O(N^2) 而通过快速傅里叶变化计算复杂度为 O(NlogN)第四章内容 离散卷积公式法 [图片] 证明通过举例子的方式 [图片] [图片] [图片] 最后可以证明通过 LTI、其次、叠加即可证明 [图片] 就可以写成 [图片] 公式使用 [图片] h[n]: 1 1 2 -1 翻转 -1 2 1 1 然后x[n] 3 2 1 -1和 -1 2 1 1 对 3 2 1 -1-1 2 1 1 - -2 为 3 3 2 1 -1-1 2 1 1 - -1 为 3 x 1 2 x 1 5 3 2 1 -1-1 2 1 1 - 0 为 3 x 2 2 x 1 1 x 1 9连续LTI系统卷积公式推导 [图片] 如果我们知道宽度为 1 的方波那么就能知道任意一个函数 f(t)对应的方波输出近似 如果宽度无限窄就可以知道所有 f(t) 对应的输出了 无限窄的信号 δ(t) —— 冲激函数 冲激函数 [图片] 连续 LTI 系统卷积推导 y ( t ) x ( t ) ∗ h ( t ) ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ y(t)x(t)*h(t)\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau y(t)x(t)∗h(t)∫−∞∞​x(τ)h(t−τ)dτ 用 δΔ(t) 去做连续函数的近似 [图片] [图片] x(kΔ) 中的 kΔ 是函数入参h(t-kΔ) 中的 kΔ 是位移 [图片] [图片] x(τ) 中的 τ 是函数入参h(t-τ) 中的 τ 是位移 离散、连续卷积公式 [图片] 卷积翻译的算好的 卷翻转积相乘 冲激函数的性质 性质 2 证明 [图片] 积分中值定理 积分中值定理Integral Mean Value Theorem是微积分中的一个重要定理 它描述了一个函数在区间上的积分与该区间上某一点函数值之间的关系。 具体来说积分中值定理指出对于一个连续函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上存在一个点 c∈[a,b] 使得 f ( c ) 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(c) \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx f(c)b−a1​∫ab​f(x)dx 假设我们有函数 f ( x ) x 2 f(x)x^2 f(x)x2 在区间 [1,3] 上 我们可以使用积分中值定理来找到一个点 C使得该点的函数值等于 f(x) 在这个区间上的平均值 计算积分 ∫ 1 3 x 2 d x [ x 3 3 ] 1 3 3 3 3 − 1 3 3 27 3 − 1 3 26 3 \int_1^3 x^2 \, dx \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^3 \frac{3^3}{3} - \frac{1^3}{3} \frac{27}{3} - \frac{1}{3} \frac{26}{3} ∫13​x2dx[3x3​]13​333​−313​327​−31​326​求平均值 1 3 − 1 ∫ 1 3 x 2 d x 1 2 × 26 3 13 3 \frac{1}{3 - 1} \int_1^3 x^2 \, dx \frac{1}{2} \times \frac{26}{3} \frac{13}{3} 3−11​∫13​x2dx21​×326​313​ 13−1∫13x2 dx12×2631333−11∫13x2dx21×326313找 c 使得 f ( c ) 13 3 f(c) \frac{13}{3} f(c)313​ c 2 13 3 ⇒ c 13 3 c^2 \frac{13}{3} \quad \Rightarrow \quad c \sqrt{\frac{13}{3}} c2313​⇒c313​ ​ 因此 ∫ 0 Δ x ( t ) d t x ( ε ) ⋅ Δ \int_0^\Delta x(t) \, dt x(\varepsilon) \cdot \Delta ∫0Δ​x(t)dtx(ε)⋅Δ 两个函数相等定义 [图片] [图片] [图片] u1(t) 和 u2(t)只在 0 不一样 u 1 ( 0 ) 1 ; u 2 ( 0 ) 0 u1(0) 1; u2(0) 0 u1(0)1;u2(0)0 根据定义 3 中的函数相等的定义任何一个函数和 u1(t) 或 u2(t)相乘再积分得到的值将会是完全一样的如何证明呢 积分可以分为三部分 t 0 、 t 0 、 t 0 t 0、t 0、t 0 t0、t0、t0 当 t 0 t 0 t0 时 u 1 ( t ) 0 , u 2 ( t ) 0 u_1(t) 0, \, u_2(t) 0 u1​(t)0,u2​(t)0因此 ∫ − ∞ 0 y ( t ) u 1 ( t ) d t ∫ − ∞ 0 y ( t ) u 2 ( t ) d t 0. \int_{-\infty}^0 y(t) u_1(t) \, \mathrm{d}t \int_{-\infty}^0 y(t) u_2(t) \, \mathrm{d}t 0. ∫−∞0​y(t)u1​(t)dt∫−∞0​y(t)u2​(t)dt0.当 t 0 t 0 t0 时 u 1 ( t ) 1 , u 2 ( t ) 1 u_1(t) 1, \, u_2(t) 1 u1​(t)1,u2​(t)1因此 ∫ 0 ∞ y ( t ) u 1 ( t ) d t ∫ 0 ∞ y ( t ) u 2 ( t ) d t \int_0^{\infty} y(t) u_1(t) \, \mathrm{d}t \int_0^{\infty} y(t) u_2(t) \, \mathrm{d}t ∫0∞​y(t)u1​(t)dt∫0∞​y(t)u2​(t)dt当 t 0 t 0 t0 时 u 1 ( 0 ) 1 , u 2 ( 0 ) 0 u_1(0) 1, \, u_2(0) 0 u1​(0)1,u2​(0)0在数学上积分是对一个点的取值零宽度点贡献。 设此时 y ( t ) y(t) y(t) 在 t 0 t 0 t0 的取值为 y ( 0 ) y(0) y(0)则对应的积分值 ∫ 0 0 y ( t ) u 1 ( t ) d t y ( 0 ) ⋅ u 1 ( 0 ) y ( 0 ) ⋅ 1 y ( 0 ) \int_0^0 y(t) u_1(t) \, \mathrm{d}t y(0) \cdot u_1(0) y(0) \cdot 1 y(0) ∫00​y(t)u1​(t)dty(0)⋅u1​(0)y(0)⋅1y(0) ∫ 0 0 y ( t ) u 2 ( t ) d t y ( 0 ) ⋅ u 2 ( 0 ) y ( 0 ) ⋅ 0 0 \int_0^0 y(t) u_2(t) \, \mathrm{d}t y(0) \cdot u_2(0) y(0) \cdot 0 0 ∫00​y(t)u2​(t)dty(0)⋅u2​(0)y(0)⋅00 结论对于积分结果如果 y(0)0 积分结果相等如果 y(0)≠0积分结果不相等相差 y(0) 但是看【定义2】中其函数的定义有限个点不等存在容忍因此可近似认为这两个函数是相等的 一个点上不一样我们仍然认为这两个函数是一样的 勒贝格积分 勒贝格发明了另外一种积分勒贝格积分改变了积分的定义以前叫黎曼积分 [图片] 凡是黎曼可积的积分勒贝格积分都可积 但有些积分黎曼积不出来但勒贝格积得出来 [图片] [图片] 扩展《实变函数》 性质 3 证明 x ( t ) δ ( t ) x ( 0 ) δ ( t ) x(t)\delta(t) x(0)\delta(t) x(t)δ(t)x(0)δ(t) —— 利用性质2当成一包进行替换 从人类第一次创造 δt 这个函数1833 迪利卡莱 (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet证明傅里叶变化收敛性创造了 δt 这个函数 到了人类将 Δt 搞清楚建立一套数学上非常融洽的理论大概是 1905 勒贝格开创实变函数的时候才最终将 δt 这个函数搞得特别明白中间花了 72 年 时间线梳理 1833 年迪利卡莱提出傅里叶级数的收敛性条件 研究涉及类似 Dirichlet 核的工具出现了“点集中”行为的萌芽但没有明确提出 Delta 函数。 1905 年勒贝格创立实变函数理论 勒贝格积分为处理奇异函数如 Delta 函数提供了基础但勒贝格并未直接定义 Delta 函数。 20 世纪初Dirac 提出 Delta 函数 狄拉克在物理学中首次明确使用 δ(t)\delta(t)δ(t) 的符号和性质用于量子力学。 20 世纪中期施瓦茨建立分布理论 Delta 函数被严格定义为一种分布数学上完全融洽 时间线可以这样理解 1833 年迪利卡莱在傅里叶分析中引出了类似 Delta 函数行为的思想但尚未明确定义。1905 年勒贝格通过实变函数和积分理论为这种函数的处理提供了数学基础。经过近 70 年的发展到了 20 世纪中期施瓦茨时代数学家才真正将 δ(t)\delta(t)δ(t) 作为广义函数严格化形成了现代数学中融洽的理论框架。 所以“从 1833 到 1905 花了 72 年”这一说法可以理解为数学处理 Delta 函数概念的一段重要过渡期。 [图片] ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t 1 \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)dt 1 ∫−∞∞​δ(t)dt1 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t ) d t x ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t)dt x(0) ∫−∞∞​x(t)δ(t)dtx(0) Dirac Delta 函数的关键性质 积分特性 ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) d t 1 \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt 1 ∫−∞∞​δ(t)dt1取样特性sifting property 对任意函数 f(t) 有 ∫ − ∞ ∞ f ( t ) δ ( t ) d t f ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) \, dt f(0) ∫−∞∞​f(t)δ(t)dtf(0) 这意味着Delta 函数会“提取” f(t) 在 t0 处的值 作用在多项函数上的特性 如果 f(t)x(t)y(t)则同样可以应用上述性质 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) y ( t ) δ ( t ) d t x ( 0 ) y ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} x(t) y(t) \delta(t) \, dt x(0) y(0) ∫−∞∞​x(t)y(t)δ(t)dtx(0)y(0) 根据 Dirac Delta 函数的取样特性我们知道 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的作用是使积分只取 t0 的值在 t0 处 x ( t ) y ( t ) x(t)y(t) x(t)y(t) 变为 x ( 0 ) y ( 0 ) x(0)y(0) x(0)y(0) 原来是一起变的啊 [图片] 性质 4 证明δ(at) 1 / |a| δ(t) [图片] x(t)*h1(t) x(t)*h2(t) 的证明根据定义3) [图片] [图片] [图片] 这里为什么x(τ) 可以变成 x(t-τ) 呢 x ( t ) ∗ h ( t ) ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ x(t) * h(t) \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t - \tau) d\tau x(t)∗h(t)∫−∞∞​h(τ)x(t−τ)dτ中如果我们让 τ \tau τ 的定义进行替换用变量替换法简化推导将 u t − τ ut − \tau ut−τ则有 τ t − u \tau t - u τt−u两边同时求微分得到 d τ − d u d\tau -du dτ−du因为 t 是一个常量所以微分为 0图中的做法是 τ t - τ也一样这里的 u 只是为了区分 将这个替换代入原积分公式卷积的形式中 x ( τ ) x(\tau) x(τ) 就可以切换为 x ( t − τ ) x(t - \tau) x(t−τ) 在卷积公式中出现 x ( τ ) x(\tau) x(τ) 和 x ( t − τ ) x(t - \tau) x(t−τ) 的切换是因为积分变量的重新定义或公式对称性调整。 这种变化并不会改变卷积的实际结果但可能是为了更方便地结合两个函数计算卷积而做出的调整。 这里 τ 变成 t - τ其他不用变吗比如积分上下限 变化了但是因为- 的原因(dτ -dτ’ ) 所以又变回来了视频后面下一堂课回顾的时候还会讲到这个的 其实是卷积交换律在卷积的性质中会讲到 示例积分变量替换 关于这里积分变量的例子我没太看懂你还能举一个其他的简单但是直观的例子吗 假设我们有一个积分 I ∫ 0 2 ( 2 x ) d x I \int_{0}^{2} (2x) \, dx I∫02​(2x)dx 现在我们进行变量替换设 u 2 x u 2x u2x。接下来我们需要重新表达积分的上下限和微分 dx 替换 u 2x 从 u 2 x u 2x u2x对两边求微分得到 d u 2 d x 或者 d x 1 2 d u du 2 \, dx \quad \text{或者} \quad dx \frac{1}{2} \, du du2dx或者dx21​du u 2 x u 2x u2x对两边求微分 就是所有变量加上 d 吗那 u 2x 3y就是 du 2dx 3dy对吗 当我们对一个方程 u 2 x u 2x u2x 求微分时它本质上是在考察 u 如何随着变量 x 的变化而变化 如果只有一个变量 x对两边求微分时仅涉及 x 的变化 但如果你有多个变量比如 u 2x 3y 对 u 求微分时需要考虑 x 和 y 两个变量的变化因此 d u ∂ u ∂ x d x ∂ u ∂ y d y du \frac{\partial u}{\partial x} dx \frac{\partial u}{\partial y} dy du∂x∂u​dx∂y∂u​dy 对 x 和 y 求偏导数 ∂ u ∂ x 2 , ∂ u ∂ y 3 \frac{\partial u}{\partial x} 2, \quad \frac{\partial u}{\partial y} 3 ∂x∂u​2,∂y∂u​3因此 d u 2 d x 3 d y du 2dx 3dy du2dx3dy 这意味着积分中的 dx 将被替换为 1 2 d u \frac{1}{2} \, du 21​du 2. 替换积分上下限 当 x 0 时 u 2 ⋅ 0 0 u 2 \cdot 0 0 u2⋅00 当 x 2 时 u 2 ⋅ 2 4 u 2 \cdot 2 4 u2⋅24 因此积分上下限从 [0, 2] 转换为 [0, 4] 3. 替换积分表达式 现在我们将积分用 u 表示原积分 ∫ 0 2 ( 2 x ) d x \int_{0}^{2} (2x) \, dx ∫02​(2x)dx 变成 ∫ 0 4 u ⋅ 1 2 d u \int_{0}^{4} u \cdot \frac{1}{2} \, du ∫04​u⋅21​du 4. 最终计算 积分变成 I 1 2 ∫ 0 4 u d u 1 2 [ u 2 2 ] 0 4 I \frac{1}{2} \int_{0}^{4} u \, du \frac{1}{2} \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{4} I21​∫04​udu21​[2u2​]04​ 计算得 I 1 2 ⋅ ( 4 2 2 − 0 2 2 ) 1 2 ⋅ 8 4 I \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) \frac{1}{2} \cdot 8 4 I21​⋅(242​−202​)21​⋅84 总结 积分变量的替换本质用新变量 u 重新描述原积分中的一切函数、微分和上下限。关键点微分 dx 的变化是通过 u 和 x 的关系导出的比如这里 d x 1 2 d u dx \frac{1}{2} \, du dx21​du直观启发原来的积分变量 x 和新的积分变量 u 的关系是由替换公式决定的积分本身的数值结果保持不变 目前关于冲激函数的公式总结 [图片] 什么是可数 性质若 f1(t) 与 f2(t) 只在可数个点不相等仍有 f1(t) f2(t) [图片] [图片] 康托一一映射 性质6 证明 [图片] [图片] 为什么只需要证明 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( f ( t ) ) d t ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ y ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(f(t)) dt \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} y(t_0) ∫−∞∞​y(t)δ(f(t))dtt0​∑​∣f′(t0​)∣1​y(t0​) 就能证明 δ ( f ( t ) ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) \delta(f(t)) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0) δ(f(t))t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​)性质6 呢 要理解为什么通过证明 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( f ( t ) ) d t ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ y ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(f(t)) \, dt \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} y(t_0) ∫−∞∞​y(t)δ(f(t))dtt0​∑​∣f′(t0​)∣1​y(t0​)就能够证明 δ ( f ( t ) ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) \delta(f(t)) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0) δ(f(t))t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​) 我们可以从几个方面来分析这个问题 Delta 函数的定义与性质 首先回顾一下狄拉克 delta 函数的性质 对于任意连续函数 y ( t ) y(t) y(t)有 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( t − t 0 ) d t y ( t 0 ) . \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(t - t_0) \, dt y(t_0). ∫−∞∞​y(t)δ(t−t0​)dty(t0​). 这意味着 delta 函数是一个“抽样”函数它会选取积分中的某个特定点 t 0 t_0 t0​ 处的函数值。 函数的变化与变换的规则 给定 f ( t ) f(t) f(t) 是一个单调变化的函数并且假设它的零点集合是 t 0 t_0 t0​即 f ( t 0 ) 0 f(t_0) 0 f(t0​)0 且 f ′ ( t 0 ) ≠ 0 f(t_0) \neq 0 f′(t0​)0假设在 t 0 t_0 t0​ 处导数不为零我们需要理解函数 δ ( f ( t ) ) \delta(f(t)) δ(f(t)) 的行为。 首先考虑对 f ( t ) f(t) f(t) 进行变量变换。在积分中使用 δ ( f ( t ) ) \delta(f(t)) δ(f(t)) 可以理解为“抽样”在 f ( t ) 0 f(t) 0 f(t)0 处的函数值即选取满足 f ( t ) 0 f(t) 0 f(t)0 的点 t 0 t_0 t0​并根据变换规则对 δ ( f ( t ) ) \delta(f(t)) δ(f(t)) 进行调整。推导过程 我们考虑以下积分表达式 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( f ( t ) ) d t . \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(f(t)) \, dt. ∫−∞∞​y(t)δ(f(t))dt. 由于 δ ( f ( t ) ) \delta(f(t)) δ(f(t)) 只在 f ( t ) 0 f(t) 0 f(t)0 时有贡献积分结果只与零点 t 0 t_0 t0​ 有关。 在这些零点附近使用 delta 函数的变化规则 δ ( f ( t ) ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) . \delta(f(t)) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0). δ(f(t))t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​). 这个公式是由以下的事实得到的由于 f ( t ) f(t) f(t) 是可微的并且 f ′ ( t 0 ) ≠ 0 f(t_0) \neq 0 f′(t0​)0我们可以通过变量替换法来得到对 delta 函数的变换 具体来说假设 t 0 t_0 t0​ 是 f ( t ) 0 f(t) 0 f(t)0 的一个解变量替换 u f ( t ) u f(t) uf(t) 会导致 delta 函数的转化 δ ( f ( t ) ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) . \delta(f(t)) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0). δ(f(t))t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​).验证等式 通过将 δ ( f ( t ) ) \delta(f(t)) δ(f(t)) 代入原来的积分表达式并使用 delta 函数的抽样性质我们可以得到 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( f ( t ) ) d t ∫ − ∞ ∞ y ( t ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) d t . \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(f(t)) \, dt \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0) \, dt. ∫−∞∞​y(t)δ(f(t))dt∫−∞∞​y(t)t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​)dt. 应用 delta 函数的定义这个积分变为 ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ y ( t 0 ) . \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} y(t_0). t0​∑​∣f′(t0​)∣1​y(t0​). 因此我们得到了我们要证明的等式 ∫ − ∞ ∞ y ( t ) δ ( f ( t ) ) d t ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ y ( t 0 ) . \int_{-\infty}^{\infty} y(t) \delta(f(t)) \, dt \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} y(t_0). ∫−∞∞​y(t)δ(f(t))dtt0​∑​∣f′(t0​)∣1​y(t0​).结论 由于上面推导的结果与目标等式一致所以我们可以得出结论 δ ( f ( t ) ) ∑ t 0 1 ∣ f ′ ( t 0 ) ∣ δ ( t − t 0 ) , \delta(f(t)) \sum_{t_0} \frac{1}{|f(t_0)|} \delta(t - t_0), δ(f(t))t0​∑​∣f′(t0​)∣1​δ(t−t0​), 其中 t 0 t_0 t0​ 是使得 f ( t 0 ) 0 f(t_0) 0 f(t0​)0 的点。这个结论利用了 delta 函数的抽样性质以及函数变换下 delta 函数的行为规则 ≡ f(x)≡g(x) 这表示 f(x) g(x) 是恒等的总是相等无论 x 取任何值 f ( t 0 ) ≠ 0 f(t_0) \neq 0 f(t0​)0 则 δ ( f ( t ) ) 0 \delta(f(t)) 0 δ(f(t))0 为什么 这是 δ 函数的定义。狄拉克 δ 函数被称为“广义函数”或“分布”它的值只有在其自变量为零时才起作用而在其他地方为零。 可以理解为 δ 函数对函数 f(t) 的零点敏感而对非零点完全忽略。 [图片] [图片] 题目δ(t^2-3t2) [图片] 题目 ∫ − 2 π 2 π ( 1 t ) δ ( c o s t ) d t \int_{-2\pi}^{2\pi}(1t)\delta(cost)dt ∫−2π2π​(1t)δ(cost)dt [图片] [图片] 将 1 t 当成一个整体然后利用性质 2 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t − t 0 ) d t x ( t 0 ) \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \delta(t-t_0)dt x(t_0) ∫−∞∞​x(t)δ(t−t0​)dtx(t0​) 就是 ∫ − 2 π 2 π ( 1 t ) δ ( t 1 − ( 1 − 3 2 π ) ) d ( 1 t ) ∫ − 2 π 2 π t ′ δ ( t ′ − ( 1 − 3 2 π ) ) d t ′ 1 − 3 2 π \int_{-2\pi}^{2\pi}(1t)\delta(t1-(1-\frac{3}{2}\pi))d(1t) \int_{-2\pi}^{2\pi}t~\delta(t-(1-\frac{3}{2}\pi))dt 1-\frac{3}{2}\pi ∫−2π2π​(1t)δ(t1−(1−23​π))d(1t)∫−2π2π​t′ δ(t′−(1−23​π))dt′1−23​π 证明 lim ⁡ w → ∞ sin ⁡ ( w t ) π t δ ( t ) \lim_{w \to \infty} \frac{\sin(wt)}{\pi t} \delta(t) w→∞lim​πtsin(wt)​δ(t) 1803 年傅里叶发明了傅里叶级数之后一直都没有办法证明傅里叶级数的收敛性 直到 183x 年迪丽赫利严格地用数学去证明了傅里叶级数地收敛性第一次提出了 δt 基于 δt第一个证明的就是这个公式可见这个东西不容易的 这里不是很严格的的一些数学完全严格要更加多一点 今天讲到的数学是本次信号与系统课最复杂的一节数学课 引理 lim ⁡ w → ∞ ∫ − ∞ ∞ x ( t ) c o s ( w t ) d t 0 \lim_{w\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}x(t)cos(wt)dt 0 w→∞lim​∫−∞∞​x(t)cos(wt)dt0sin 同理 [图片] cos(wt)当 w - ∞振荡剧烈 当其和 x(t) 作用并且积分相邻区间段被抵消极限的思想 抵消不掉的情况x(t) 也是振荡剧烈的函数 因此可以得到 lim ⁡ w → ∞ ∫ − ∞ ∞ x ( t ) c o s ( w t ) d t 0 \lim_{w\to\infty} \int_{-\infty}^{\infty}x(t)cos(wt)dt 0 w→∞lim​∫−∞∞​x(t)cos(wt)dt0 如果假设x(t) 是一个可导的函数 [图片] 分部积分例子 ∫ x d ( e x 2 ) x ⋅ e x 2 − ∫ e x 2 d x \int x \, d(e^{x^2}) x \cdot e^{x^2} - \int e^{x^2} \, dx ∫xd(ex2)x⋅ex2−∫ex2dx 代入 δ 公式成立则为 δ(t) [图片] [图片] 0 之前 y(t) / Πt在 t 0 时此时趋于无穷大是无限振荡的条件不满足引理中的条件因此无法用引理 之后变化一下此时在 t 趋于 0 的时候x(0) 中分子y(0) - y(0) 0分母也为 0因此可用洛必达法则 于是可以得到x(t) 在 x(0)不是无限振荡因此可用 引理 1 用到了之前证明的一个结论 连续信号卷积的计算 题目 x ( t ) e − b t u ( t ) 、 h ( t ) e − a t u ( t ) x(t)e^{-bt}u(t)、h(t)e^{-at}u(t) x(t)e−btu(t)、h(t)e−atu(t)求卷积代公式 [图片] [图片] 题目图形卷积 [图片] 0 t 1 时 ( 2 − t ) t 2 − 1 2 t 2 t \frac{(2-t)t}{2} -\frac{1}{2}t^2 t 2(2−t)t​−21​t2t [图片]1 t 2 时 ( 2 − t ) 2 2 4 − 4 t t 2 2 1 2 t 2 − 2 t 2 \frac{(2-t)^2}{2}\frac{4-4tt^2}{2}\frac{1}{2}t^2-2t2 2(2−t)2​24−4tt2​21​t2−2t2 [图片]2 t 时 0 卷积的性质 交换律 x ( t ) ∗ h ( t ) ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ x(t)*h(t) \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, d\tau x(t)∗h(t)∫−∞∞​x(τ)h(t−τ)dτ h ( t ) ∗ x ( t ) ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) x ( t − τ ) d τ h(t)*x(t) \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) x(t - \tau) \, d\tau h(t)∗x(t)∫−∞∞​h(τ)x(t−τ)dτ [图片] 交换律为什么正确通俗理解 两本书一本 x(t)另一本 h(t)翻转然后平移和 x(t) 相交然后算面积 视角一正面看x(t) 是正面h(t) 是反面翻转过了的视角一反面看x(t) 是反面h(t) 是正面翻转回来的 另外运动是相对的可以看成 x(t) 不动h(t) 运动或者 h(t) 不动x(t) 运动 结合律 雅各比行列式二重积分换元证明 第三章引言 为什么要做频域分析 知道 x(t)、h(t) 可以算出 y(t) 知道 x(t)、y(t) 可以算出 h(t) 吗 傅里叶级数 之前傅里叶级数的笔记 傅里叶变化的发明最初是为了解决求解热传导方程 但是没想到无心插柳用到了信号与系统上 f(x, t) 中x 为杆子的长度t 为时间 杆子在 0 时刻温度为已知即 f(t, 0) 已知 求f(x,t ) [图片] 傅里叶之前就有人推出 方程 核心问题如何求解 三维情况的热传导方程 —— 天气预报 衡量一大片空气中的热是如何传导的 以及在未来某个时刻之后每一个点的温度 最初的傅里叶变换就是和天气预报联系在一起只不过是后来信号与系统的科学家才将其与信号与系统联系在一起 在 f(x,0) 中f(x) 是任意的因此我们无法求出所有解 但是我们能对某些特殊的 f(x)求出它的解如 [图片] [图片] 傅里叶提交《论热传导方程的解法》中第一次提出了傅里叶级数 和 傅里叶变换来解决这个问题 所有 cos 的频率都是 w0 的整数倍一次、二次谐波 热传导方程的解法 前提将信号拆成常数项、sin、cos [图片] [图片] 如何根据 f(x)算出 B0、Bkcos(kw0x)、Cksin(kw0x) T 0 2 π w 0 T_0 \frac{2\pi}{w_0} T0​w0​2π​基波周期 算 B0求从 0 ~ T0 的积分 [图片] [图片] [图片] 后面就是积分乘以 cos 或 sin利用正交性 看 CSDN 笔记 为什么拒绝傅里叶 [图片] 如果 f(x) 可以写成 那么B0、Bk、Ck 就是 那万一f(x) 不能写成这样呢 傅里叶认为对应常规性 f(x)能够证明收敛性但是傅里叶没有证明 1832 年迪丽赫利证明的收敛性三条件 [图片] 傅里叶提出这个问题同时用这种解决方案无形推动人们会去研究满足和不满足傅里叶收敛性 然后创造了很多奇怪的函数拓展了人们对函数的认识 最后导致1905 勒贝格将实变函数和泛函分析给完全发展出来 那个年代三个积分很难算出来有了计算机不难 工程不要盲目去求解析解 自然界产生的 f(x)真的是由常数项、cos、sin构成的吗 即使真的是这样频率难道真的是整数倍的关系吗 欧拉公式 欧拉公式 cos ⁡ ( θ ) e i θ e − i θ 2 \begin{array}{c} \cos (\theta)\frac{e^{i \theta}e^{-i \theta}}{2} \end{array} cos(θ)2eiθe−iθ​​、 sin ⁡ ( θ ) e i θ − e − i θ 2 i − i ⋅ e i θ − e − i θ 2 \sin (\theta)\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}-i \cdot \frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2} sin(θ)2ieiθ−e−iθ​−i⋅2eiθ−e−iθ​ e i x cos ⁡ ( x ) i sin ⁡ ( x ) e − i x cos ⁡ ( x ) − i sin ⁡ ( x ) e^{ix} \cos(x) i\sin(x) \\ e^{-ix} \cos(x) - i\sin(x) eixcos(x)isin(x)e−ixcos(x)−isin(x) 傅里叶变换中的 e j w t c o s ( w t ) j s i n ( w t ) e^{jwt} cos(wt)jsin(wt) ejwtcos(wt)jsin(wt) 傅里叶级数的复数表达形式 傅里叶变换CSDN 2022浙江大学信号与系统 - 傅里叶级数 x ( t ) ∑ k − ∞ ∞ a k e j k w 0 t a 0 ( a 1 e j w 0 t a − 1 e − j w 0 t ) . . . a 0 a 1 ( c o s ( w 0 t ) j s i n ( w 0 t ) ) a − 1 ( c o s ( w 0 ) t − j s i n ( w 0 ) t ) . . . a 0 ( a 1 a − 1 ) c o s ( w 0 t ) j ( a 1 − a − 1 ) s i n ( w 0 t ) . . . x(t) \sum_{k-\infty}^{\infty}a_{k}e^{jkw_0t} \\ a_0 (a_1e^{jw_0t} a_{-1}e^{-jw_0t}) ... \\ a_0 a_1(cos(w_0t)jsin(w_0t)) a_{-1}(cos(w_0)t-jsin(w_0)t) ... \\ a_0 (a_1 a_{-1})cos(w_0t)j(a_1-a_{-1})sin(w_0t) ... x(t)k−∞∑∞​ak​ejkw0​ta0​(a1​ejw0​ta−1​e−jw0​t)...a0​a1​(cos(w0​t)jsin(w0​t))a−1​(cos(w0​)t−jsin(w0​)t)...a0​(a1​a−1​)cos(w0​t)j(a1​−a−1​)sin(w0​t)... 等价于 \)\(x(t) B_0 \sum_{k1}^{\infty}B_kcos(kw_0t) \sum_{k1}^{\infty}C_ksin(kw_0t) ~~~ (T_0 \frac{2\pi}{w_0}) \ B_0 \frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)dx \ B_k \frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)cos(kw_0x)dx \ C_k \frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)sin(kw_0x)dx \\)$ 因此 B 0 a 0 B k a k a − k C k j ( a k − a − k ) B_0 a_0 \ B_k ak a{-k} \ C_k j(ak - a{-k}) B0​a0​Bk​ak​a−k​Ck​j(ak​−a−k​) j B k C k 2 j a k a k 1 2 j ( j B k C k ) 1 2 j 2 T 0 ∫ 0 T 0 f ( x ) ( j c o s ( k w 0 x ) s i n ( k w 0 x ) ) d x 1 2 j 2 T 0 ∫ 0 T 0 f ( x ) ( j c o s ( k w 0 x ) s i n ( k w 0 x ) ) d x 1 T 0 ∫ 0 T 0 f ( x ) ( c o s ( k w 0 x ) − j s i n ( k w 0 x ) ) d x 1 T 0 ∫ 0 T 0 f ( x ) e − j k w 0 t d x jB_kC_k 2ja_k \ a_k \frac{1}{2j}(jB_kC_k) \ \frac{1}{2j} \frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)(jcos(kw_0x)sin(kw_0x))dx \ \frac{1}{2j} \frac{2}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)(jcos(kw_0x)sin(kw_0x))dx \ \frac{1}{T_0} \int_0^{T_0}f(x)(cos(kw_0x)-jsin(kw_0x))dx \ \frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)e^{-jkw0t}dx jBk​Ck​2jak​ak​2j1​(jBk​Ck​)2j1​T0​2​∫0T0​​f(x)(jcos(kw0​x)sin(kw0​x))dx2j1​T0​2​∫0T0​​f(x)(jcos(kw0​x)sin(kw0​x))dxT0​1​∫0T0​​f(x)(cos(kw0​x)−jsin(kw0​x))dxT0​1​∫0T0​​f(x)e−jkw0​tdx 周期傅里叶例子 一个函数是偶函数将其分解成偶函数和奇函数则 奇函数为 0 [图片] [图片] 复数解法最后发现是一样的 [图片] [图片] [图片] [图片] 傅里叶收敛性证明 傅里叶级数对于什么样的 f(x)才能写成那样 [图片] [图片] 积化和差公式有如下公式 2 sin ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ ( α β ) sin ⁡ ( α − β ) 2 \sin α \cosβ \sin(α β) \sin(α - β) 2sinαcosβsin(αβ)sin(α−β) 故有 1 2 c o s ( w ) 2 c o s ( 2 w ) … 2 c o s ( N w ) s i n [ ( N 1 2 ) w ] s i n ( 1 2 w ) 12cos(w)2cos(2w)…2cos(Nw)\frac{sin[(N\frac{1}{2})w]}{sin(\frac{1}{2}w)} 12cos(w)2cos(2w)…2cos(Nw)sin(21​w)sin[(N21​)w]​ [图片] [图片] s i n [ ( N 1 2 ) u ] sin[(N\frac{1}{2})u] sin[(N21​)u] 的周期是多少 周期是 T 2 π N 1 2 2 π 2 N 1 2 4 π 2 N 1 T \frac{2\pi}{N \frac{1}{2}} \frac{2\pi}{\frac{2N1}{2}} \frac{4\pi}{2N1} TN21​2π​22N1​2π​2N14π​因此周期是 4 π 4\pi 4π s i n [ ( 1 2 ) u ] sin[(\frac{1}{2})u] sin[(21​)u] 的周期是多少 周期是 T 2 π 1 2 4 π T \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} 4\pi T21​2π​4π s i n [ ( N 1 2 ) u ] s i n [ ( 1 2 ) u ] \frac{sin[(N\frac{1}{2})u]}{sin[(\frac{1}{2})u]} sin[(21​)u]sin[(N21​)u]​ 的周期是多少 [图片] [图片] [图片] 是 δ 不是 8 哦
函数的正交分解 傅里叶变换定义 [图片] [图片] x ( t ) ∑ k − ∞ ∞ a k e j k w 0 t a k 1 T 0 ∫ 0 T 0 f ( x ) e − j k w 0 t d x x(t) \sum{k-\infty}^{\infty}a_{k}e^{jkw_0t} \ ~ \ a_k \frac{1}{T_0}\int_0^{T_0}f(x)e^{-jkw0t}dx x(t)k−∞∑∞​ak​ejkw0​t ak​T0​1​∫0T0​​f(x)e−jkw0​tdx 定义 x ( j w ) ∫ 0 T 0 x ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{0}^{T0} x(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫0T0​​x(t)e−jwtdt此时周期还是 T 而不是 ∞之后改的 这就是傅里叶变换 你可以理解将函数 x(t)翻译成了一种新的语言 x(jw)这个语言有自己的某些特性方便你做某些操作 操作完之后通过傅里叶反变换可以将 x(jw)翻译回 x(t) 傅里叶级数的思想是针对周期信号的它只能用于周期性信号的分解。如果我们想分析 非周期信号则傅里叶级数就不再适用 为了将傅里叶分析扩展到非周期信号我们引入了 傅里叶变换 傅里叶变换 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​x(t)e−jwtdt 为什么是这个形式呢 目的为了从时域时间表示转到频域频率表示 这种转换的基本思想是我们希望通过某种方式分析信号在不同频率上的组成。 为了做到这一点我们通过将信号与不同频率的基函数复指数函数进行内积来提取频率成分。 复指数函数 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 在频域中具有非常好的数学特性它能够准确地表示信号的频率成分。 通过与复指数函数内积我们可以得到信号在各个频率上的权重形成频域表示。 为何选择复指数 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 作为基函数 e j ω t e^{j \omega t} ejωt 表示正频率的旋转而 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 则表示负频率的旋转 复指数函数是周期性的并且具有非常好的正交性这意味着它们可以用来对时域信号进行频谱分析 通过内积积分过程复指数函数 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 可以有效地提取信号中不同频率成分的强度 内积的结果即傅里叶变换的值表示信号在频率 ω 上的分量 如果信号包含频率 ω0那么傅里叶变换会返回一个非零的值。反之如果信号没有该频率成分傅里叶变换的结果会是零。 为什么是 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 而不是 e j ω t e^{j \omega t} ejωt ? 这个符号的选择通常是根据数学约定以及频域分析的需要。我们使用 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 主要有以下几个原因 (1) 标准的数学约定 在数学分析中通常约定傅里叶变换的形式使用 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 而傅里叶反变换则使用 e j ω t e^{j \omega t} ejωt 。这种约定使得傅里叶变换和反变换之间的关系非常对称 傅里叶变换 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​x(t)e−jwtdt傅里叶反变换 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( j w ) e j w t d w x(t)\frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}x(jw)e^{jwt}dw x(t)2π1​∫−∞∞​x(jw)ejwtdw (2) 频率的正负方向 复指数函数 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 和 e j ω t e^{j \omega t} ejωt 分别对应于信号的 负频率 和 正频率。通过选择 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 来表示频率成分确保了在频域中我们能够正确地区分正频率和负频率 e j ω t e^{j \omega t} ejωt 对应于频率的 正向旋转顺时针这通常与信号的正频率成分有关。 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt 对应于频率的 反向旋转逆时针通常与信号的负频率成分有关。 通过选择 e − j ω t e^{-j \omega t} e−jωt傅里叶变换可以正确地表示信号的负频率部分频率成分对称分布 则有 a k 1 T 0 x ( j k w 0 ) a_k \frac{1}{T_0}x(jkw0) ak​T0​1​x(jkw0​) 因此 x ( t ) ∑ k − ∞ ∞ 1 T 0 x ( j k w 0 ) e j k w 0 t 1 w 0 T 0 ∑ k − ∞ ∞ x ( j k w 0 ) e j k w 0 t w 0 1 2 π ∑ k − ∞ ∞ x ( j k w 0 ) e j k w 0 t w 0 x(t) \sum{k-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_0}x(jkw_0)e^{jkw_0t} \frac{1}{w_0T0}\sum{k-\infty}^{\infty}x(jkw_0)e^{jkw_0t}w0 \frac{1}{2\pi}\sum{k-\infty}^{\infty}x(jkw_0)e^{jkw_0t}w0 x(t)k−∞∑∞​T0​1​x(jkw0​)ejkw0​tw0​T0​1​k−∞∑∞​x(jkw0​)ejkw0​tw0​2π1​k−∞∑∞​x(jkw0​)ejkw0​tw0​ 非周期的函数可以理解为周期为 ∞所以x(t) 的连续表示为 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( j w ) e j w t d w x(t)\frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}x(jw)e^{jwt}dw x(t)2π1​∫−∞∞​x(jw)ejwtdw傅里叶反变换 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​x(t)e−jwtdt傅里叶变换 [图片] 傅里叶反变换推 x(t) [图片] 利用了 2 i sin ⁡ ( θ ) e i θ − e − i θ 2i ~\sin (\theta)e^{i \theta}-e^{-i \theta} 2i sin(θ)eiθ−e−iθ 还利用了 lim ⁡ w → ∞ sin ⁡ ( w t ) π t δ ( t ) \lim{w \to \infty} \frac{\sin(wt)}{\pi t} \delta(t) w→∞lim​πtsin(wt)​δ(t) 还利用了 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t ) d t x ( 0 ) \int{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t)dt x(0) ∫−∞∞​x(t)δ(t)dtx(0) [图片] 典型信号的傅里叶变换 [图片] 1、 e − a t u ( t ) → F 1 a j ω ( a 0 ) e^{-at} u(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{a j\omega} ~~~ (a0) e−atu(t)F ​ajω1​   (a0) 傅里叶变换 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​x(t)e−jwtdt将其代入得 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ e − a t u ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} e^{-at} u(t)e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​e−atu(t)e−jwtdt 因为 u ( t ) u(t) u(t)是阶跃函数0值为0所以范围为 0 ~ ∞故 x ( j w ) ∫ 0 ∞ e − ( a j w ) t d t x(jw)\int{0}^{\infty} e^{-(ajw)t}dt x(jw)∫0∞​e−(ajw)tdt 后续计算 x ( j w ) − 1 a j ω e − ( a j ω ) t ∣ t 0 t ∞ − 1 a j ω [ e − ( a j ω ) ⋅ ∞ − e − ( a j ω ) ⋅ 0 ] − 1 a j ω 0 − 1 1 a j ω x(jw) -\frac{1}{aj\omega} e^{-(aj\omega)t} \Big|{t0}^{t\infty} -\frac{1}{aj\omega} \left[ e^{-(aj\omega)\cdot\infty} - e^{-(aj\omega)\cdot 0} \right] -\frac{1}{aj\omega}[0 - 1] ~~~ (a0) \frac{1}{aj\omega} x(jw)−ajω1​e−(ajω)t ​t0t∞​−ajω1​[e−(ajω)⋅∞−e−(ajω)⋅0]−ajω1​[0−1]   (a0)ajω1​ 复数频率域 x ( j w ) ∣ x ( j w ) ∣ e j θ ( w ) , s σ j ω x(jw) |x(jw)| e^{j\theta(w)}, \quad s \sigma j\omega x(jw)∣x(jw)∣ejθ(w),sσjω 普通频率域就像一个收音机只听声音的高低音。 复数频率域就像一个医生能用仪器“看”声音还能判断这个声音是增强还是减弱的甚至是减弱的速度。 复数频率域就是一种更聪明的方法帮我们更全面地理解声音或者信号它能同时看“音调”和“声音强弱的变化”。 就像医生用设备看病一样它能给信号做更深层的“诊断”。 幅度谱 ∣ x ( j w ) ∣ |x(jw)| ∣x(jw)∣频率的“强弱分布表”告诉你信号中每种频率的大小。相位谱 θ ( w ) \theta(w) θ(w)频率的“时间安排表”告诉你信号中每种频率的同步或偏差。它们像一对搭档描述了信号的全部特性一个管“大小”一个管“组合” 如果 x ( j w ) 1 a j w x(jw) \frac{1}{ajw} x(jw)ajw1​求复数频率域幅度谱和相位谱 幅度谱模长 ∣ X ( j ω ) ∣ ∣ 1 a j ω ∣ 1 a 2 ω 2 |X(j\omega)| \left| \frac{1}{a j\omega} \right| \frac{1}{\sqrt{a^2 \omega^2}} ∣X(jω)∣ ​ajω1​ ​a2ω2 ​1​ 相位谱其实部和虚部的反正切 θ ( w ) − tan ⁡ − 1 ( 虚部 实部 ) − tan ⁡ − 1 ( ω a ) \theta(w) -\tan^{-1}\left(\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}\right) -\tan^{-1}\left(\frac{\omega}{a}\right) θ(w)−tan−1(实部虚部​)−tan−1(aω​) 取相位时需要加上负号因为是倒数 —— 倒数相当于把复数的方向翻转了所以相位变成了相反数 频率域 假设你听到一首音乐它是由很多不同音调频率组成的。 如果我们把这些音调的“强弱”音量画成一个图 横轴是音调频率声音振动的快慢单位是赫兹Hz纵轴是每种频率的音量声音的强弱实际上对应的是声波的“振幅”大小 这个图就叫频率域 普通频率域只告诉你信号中各种频率有多强像听音乐只知道音调高低和音量大小 复数频率域不但告诉你信号中各种频率的强弱幅度还告诉你这些频率的“方向”或“时间同步性”相位 复数频率域用一个复数 s 表示频率 s σ j ω s \sigma j\omega sσjω σ 是实部表示信号的衰减或增长比如信号会不会越来越小 ω 是虚部表示信号的振荡频率比如信号的音调是高还是低
假设你敲了一个钟 钟声一开始很响然后会逐渐变小衰减。同时钟声中有低音和高音不同频率。 用复数频率域可以这样描述 σ表示钟声是慢慢变小的信号的衰减。ω表示钟声的音调信号的频率幅度谱描述信号的强弱大小。相位谱描述信号的时间关系方向。 复数频率域让我们可以同时分析信号的“频率”振荡和“变化”衰减或增长它比普通频率域更强大是信号处理、通信、控制系统等领域的基础工具。 低通滤波器 频率低的地方通过频率高的地方抑制 [图片] 低通滤波器截至频率幅度衰减到原来一半也叫幅度衰减3dB即 1 2 a \frac{1}{2a} 2a1​因此为 x ( 3 ) x(\sqrt{3}) x(3 ​) 2、 δ ( t ) → F 1 \delta(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 1 δ(t)F ​1 x ( j w ) ∫ − ∞ ∞ δ ( t ) e − j w t d t x(jw)\int{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-jwt}dt x(jw)∫−∞∞​δ(t)e−jwtdt 根据 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t ) d t x ( 0 ) \int{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t)dt x(0) ∫−∞∞​x(t)δ(t)dtx(0)可得 x ( j w ) x ( 0 ) e − j w ⋅ 0 1 x(jw)x(0) e^{-jw \cdot 0}1 x(jw)x(0)e−jw⋅01 3、 1 → F 2 π δ ( w ) 1 \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi \delta(w) 1F ​2πδ(w) 根据 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ x ( j w ) e j w t d w x(t)\frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}x(jw)e^{jwt}dw x(t)2π1​∫−∞∞​x(jw)ejwtdw 有 x ( t ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ 2 π δ ( w ) e j w t d w ∫ − ∞ ∞ δ ( w ) e j w t d w x(t)\frac{1}{2\pi}\int{-\infty}^{\infty}2\pi \delta(w)e^{jwt}dw \int{-\infty}^{\infty} \delta(w)e^{jwt}dw x(t)2π1​∫−∞∞​2πδ(w)ejwtdw∫−∞∞​δ(w)ejwtdw 根据 ∫ − ∞ ∞ x ( t ) δ ( t ) d t x ( 0 ) \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \delta(t)dt x(0) ∫−∞∞​x(t)δ(t)dtx(0)可得 x ( j w ) x ( 0 ) e j w ⋅ 0 1 x(jw)x(0) e^{jw \cdot 0}1 x(jw)x(0)ejw⋅01 4、方波与 Sa [图片] S a ( w τ 2 ) s i n ( w τ 2 ) w τ 2 Sa(w\frac{\tau}{2})\frac{sin(w\frac{\tau}{2})}{w\frac{\tau}{2}} Sa(w2τ​)w2τ​sin(w2τ​)​ [图片] [图片] [图片] 方波 - Sa 例子 [图片] E 2τ 6故为 12Sa(3w) [图片] X ( j w ) A S a ( w τ 2 ) 而 X ( j 0 ) A S a ( 0 ) A X(jw)ASa(w\frac{\tau}{2})而 X(j0)ASa(0)A X(jw)ASa(w2τ​)而X(j0)ASa(0)A 故 X ( j w ) X ( j 0 ) S a ( 0 ) X(jw)X(j0)Sa(0) X(jw)X(j0)Sa(0)而 X(j0) 代表面积 [图片] Sa - 方波例子 [图片] [图片] 傅里叶变化的性质 1、叠加性 [图片] 2、时移性质 [图片] 题目如下 [图片] [图片] 题目2 的规律总结 [图片] 题目3 [图片] [图片] π e − j w δ ( w ) \pi e^{-jw}\delta(w) πe−jwδ(w)看到 δ \delta δ要想到有 x ( t ) δ ( t ) x ( 0 ) δ ( t ) x(t)\delta(t) x(0)\delta(t) x(t)δ(t)x(0)δ(t)性质三 于是就等于 π e − j ⋅ 0 π \pi e^{-j \cdot 0}\pi πe−j⋅0π 题目4用了性质 5 [图片] 3、频移性质 [图片] cos、sin 傅里叶变换 用频移性质可以将性质 7推出来 [图片] [图片] sin 的另一种写法都是一样的 [图片] 4、微分性质 [图片] [图片] 6、时域卷积性质重要 [图片] [图片] [图片] [图片] [图片] [图片] 用卷积性质重新考察 LTI 系统 [图片] 知道 x(t)、y(t)如何求 h(t) [图片] 因此如果我们知道 LTI 系统任何一个输入、输出我们就可以知道这个 LTI 系统所有的性质求出 h(t) 之后就好办了 [图片] 用傅里叶变换计算信号卷积 [图片] [图片] 第三章做法 [图片] [图片] [图片] 傅里叶变换解电路题 [图片] [图片] [图片] [图片]