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中山网站建设的公司,论坛申请网站备案前置审批,wordpress安装 centos,网站建设ydwzjs1. 介绍 ICP(Iterative Closest Point)#xff1a;求一组平移和旋转使得两个点云之间重合度尽可能高。

1. 算法流程 找最近邻关联点#xff0c;求解 R , t R , t R , t R , t R,tR,tR,tR,t R,tR,tR,tR,t#xff0c;如此反复直到重合程度足够高。
2. 数学描述 X { x 1 ,…1. 介绍 ICP(Iterative Closest Point)求一组平移和旋转使得两个点云之间重合度尽可能高。
3. 算法流程 找最近邻关联点求解 R , t R , t R , t R , t R,tR,tR,tR,t R,tR,tR,tR,t如此反复直到重合程度足够高。
4. 数学描述 X { x 1 , x 2 , … , x N x } X\left{ {x_1,x2,…,x{Nx} }\right} X{x1​,x2​,…,xNx​} Y { y 1 , y 2 , … , y N y } Y\left{ {y_1,y2,…,y{Ny} } \right} Y{y1​,y2​,…,yNy​} 由于是变换前后对应点云则 N x N y NxNy NxNy min ⁡ E ( R , t ) min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − ( R x i t ) ∥ 2 \min E(R,t) \min \sum\nolimits_{i 1}^{Nx} {{{\left| {{y_i} - \left( {R{x_i} t} \right)} \right|}^2}} minE(R,t)min∑i1Nx​∥yi​−(Rxi​t)∥2 求解使其最小的 R , t R,t R,t
5. 解法 4.1 SVD直接解法 min ⁡ E ( R , t ) min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − ( R x i t ) ∥ 2 min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − R x i − t − μ y R μ x μ y − R μ x ∥ 2 \begin{aligned} \min E(R,t) \min \sum\nolimits_{i 1}^{Nx} {{{\left| {{y_i} - \left( {R{xi} t} \right)} \right|}^2}} \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {{{\left| {{y_i} - R{x_i} - t - {\mu _y} R{\mu _x} {\mu _y} - R{\mu _x}} \right|}^2}} \end{aligned} minE(R,t)​min∑i1Nx​∥yi​−(Rxi​t)∥2min∑i1Nx​∥yi​−Rxi​−t−μy​Rμx​μy​−Rμx​∥2​ 其中 μ x ∑ i 1 N x x i , μ y ∑ i 1 N y y i \mu _x \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {x_i} ,\mu y \sum\nolimits{i 1}^{Ny} {yi} μx​∑i1Nxxi​,μy​∑i1Ny​yi​ 则 min ⁡ E ( R , t ) min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − R x i − t − μ y R μ x μ y − R μ x ∥ 2 min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − μ y − R ( x i − μ x ) μ y − R μ x − t ∥ 2 min ⁡ ∑ i 1 N x ( ∥ y i − μ y − R ( x i − μ x ) ∥ 2 ∥ μ y − R μ x − t ∥ 2 2 [ y i − μ y − R ( x i − μ x ) ] T ( μ y − R μ x − t ) ) \begin{aligned} \min E(R,t) \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {{{\left| {{y_i} - R{x_i} - t - {\mu _y} R{\mu _x} {\mu _y} - R{\mu x}} \right|}^2}} \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {\left| {y_i-\mu_y-R(x_i-\mu_x)\mu_y-R\mux-t}\right|}^2 \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} ({\left| {y_i-\mu_y-R(x_i-\mu_x)} \right|}^2 {\left|{\mu_y-R\mu_x-t}\right|}^2 \ 2[y_i-\mu_y-R(x_i-\mu_x)]^T(\mu_y-R\mux-t)) \end{aligned} minE(R,t)​min∑i1Nx​∥yi​−Rxi​−t−μy​Rμx​μy​−Rμx​∥2min∑i1Nx​∥yi​−μy​−R(xi​−μx​)μy​−Rμx​−t∥2min∑i1Nx​(∥yi​−μy​−R(xi​−μx​)∥2∥μy​−Rμx​−t∥22[yi​−μy​−R(xi​−μx​)]T(μy​−Rμx​−t))​ 其中 ∑ i 1 N x x i − N x μ x 0 , ∑ i 1 N y y i − N y μ y 0 \sum\nolimits{i 1}^{Nx}x_i-Nx\mux0 ,\sum\nolimits{i 1}^{Ny}y_i-Ny\muy0 ∑i1Nx​xi​−Nxμx​0,∑i1Ny​yi​−Nyμy​0 min ⁡ E ( R , t ) min ⁡ ∑ i 1 N x ( ∥ y i − μ y − R ( x i − μ x ) ∥ 2 ∥ μ y − R μ x − t ∥ 2 \min E(R,t) \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} ({\left| {y_i-\mu_y-R(x_i-\mu_x)} \right|}^2 {\left|{\mu_y-R\mux-t}\right|}^2 minE(R,t)min∑i1Nx​(∥yi​−μy​−R(xi​−μx​)∥2∥μy​−Rμx​−t∥2 这样第一项中只含有变量 R R R第二项含有 R , t R,t R,t求整体的最小值可以使第一项的值最小将得到的 R R R带入第二项中再使第二项为零求出 t t t的值。 min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i − μ y − R ( x i − μ x ) ∥ 2 min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i ′ − R x i ′ ∥ 2 min ⁡ ∑ i 1 N x ( y i ′ − R x i ′ ) T ( y i ′ − R x i ′ ) min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i ′ ∥ 2 x i ′ T R T R x i ′ − x i ′ T R T y i ′ − y i ′ T R x i ′ min ⁡ ∑ i 1 N x ∥ y i ′ ∥ 2 x i ′ T R T R x i ′ − 2 x i ′ T R T y i ′ \begin{aligned} \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {\left| {y_i-\mu_y-R(x_i-\mux)} \right|}^2\min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {\left| {y_i-Rxi} \right|}^2 \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {(y_i-Rx_i)^T(y_i-Rxi)} \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {\left| y_i \right|}^2x_i^TR^TRx_i-x_i^TR^Ty_i-y_i^TRxi \ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx} {\left| y_i \right|}^2x_i^TR^TRx_i-2x_i^TR^Tyi \end{aligned} min∑i1Nx​​∥yi​−μy​−R(xi​−μx​)∥2min∑i1Nx​∥yi′​−Rxi′​∥2min∑i1Nx​(yi′​−Rxi′​)T(yi′​−Rxi′​)min∑i1Nx​∥yi′​∥2xi′T​RTRxi′​−xi′T​RTyi′​−yi′T​Rxi′​min∑i1Nx​∥yi′​∥2xi′T​RTRxi′​−2xi′T​RTyi′​​ 求解原函数最小值等同于求解 min ⁡ ∑ i 1 N x − x i ′ T R T y i ′ \min \sum\nolimits{i 1}^{Nx}{-x_i^TR^Tyi} min∑i1Nx​−xi′T​RTyi′​ 等同于求解 max ⁡ ∑ i 1 N x x i ′ T R T y i ′ \max \sum\nolimits{i 1}^{Nx}{x_i^TR^Tyi} max∑i1Nx​xi′T​RTyi′​ max ⁡ ∑ i 1 N x x i ′ T R T y i ′ max ⁡ T r a c e ( ∑ i 1 N x R x i ′ y i ′ T ) max ⁡ T r a c e ( R H ) \max \sum\nolimits{i 1}^{Nx}{x_i^TR^Tyi}\max Trace\left( {\sum\nolimits{i 1}^{Nx}{Rx_iy_i^T}} \right)\max Trace(RH) max∑i1Nx​xi′T​RTyi′​maxTrace(∑i1Nx​Rxi′​yi′T​)maxTrace(RH) 由定理可知对于正定矩阵 A A T AA^T AAT和任意正交矩阵 B B B有 T r ( A A T ) ≥ T r ( B A A T ) Tr(AA^T) \ge Tr(BAA^T) Tr(AAT)≥Tr(BAAT) 则对矩阵 H H H进行SVD分解 H U Σ V T HU\Sigma V^T HUΣVT 取 R V U T RVU^T RVUT则由定理得到此时的 R R R使得原式最大 再对应求解 t μ y − R μ x t\mu_y-R\mux tμy​−Rμx​ 4.2 迭代求解 将ICP构建成一个优化问题 F ( x ) ∑ i 1 n ∥ x i − T y i ∥ 2 2 F(x)\sum\nolimits{i 1}^{n}{\left| x_i-Ty_i \right|}_2^2 F(x)∑i1n​∥xi​−Tyi​∥22​ 其中 T T T为位姿变换矩阵 T [ R t 0 1 ] T {\begin{bmatrix} R{\rm{t}}\ 01 \end{bmatrix}} T[R0​t1​] 求解优化问题需要构建残差约束并计算雅可比矩阵这里的残差为 x i − T y i x_i-Ty_i xi​−Tyi​可以理解为为变换后的点云与目标待配准点云之间的差异计算雅可比矩阵可以使用李代数的方法对目标函数求导。 5.非线性优化问题详细公式推导 问题描述 对于一个目标函数 F ( X ) ∥ f ( X ) ∥ 2 F(X) {\left| f(X) \right|}^2 F(X)∥f(X)∥2其中 F : R n → R m , X ∈ R n F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ,X \in \mathbb{R}^n F:Rn→Rm,X∈Rn 需要求解 X X X使得目标函数 F ( X ) F(X) F(X) 取值最小。如果 f ( X ) f(X) f(X)为线性函数则可以简化为最小二乘问题可以求得最优解但 f ( X ) f(X) f(X)为非线性函数则无法直接求解需要迭代求解。 F ( X Δ X ) ∥ f ( X Δ X ) ∥ 2 F(X\Delta X) {\left| f(X\Delta X) \right|}^2 F(XΔX)∥f(XΔX)∥2 迭代求 Δ X \Delta X ΔX使得 F ( X Δ X ) F(X\Delta X) F(XΔX)减小直到其足够小并接近最小值时停止。 那么 Δ X \Delta X ΔX的取值该如何确定
6. 高斯法 对 F ( X Δ X ) F(X\Delta X) F(XΔX)进行Taylor Expansion得到 F ( X Δ X ) F ( X ) J F Δ X 1 2 Δ X T H F Δ X O ( Δ X ) F(X\Delta X)F(X)J_F\Delta X\frac{1}{2}\Delta X^TH_F\Delta XO(\Delta X) F(XΔX)F(X)JF​ΔX21​ΔXTHF​ΔXO(ΔX) 只取到二阶项其中 J J J为 F F F的雅可比矩阵 H H H为海塞矩阵 O ( Δ X ) O(\Delta X) O(ΔX)为忽略的高阶项。 雅可比矩阵定义: 有矩阵函数 F ( X ) F(X) F(X)其中 F : R n → R m , X ∈ R n F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m ,X \in \mathbb{R}^n F:Rn→Rm,X∈Rn J F ∂ F ( X ) ∂ X T J_F\frac{\partial F(X)}{\partial X^T} JF​∂XT∂F(X)​ 使等式对 Δ X \Delta X ΔX求导为 0 0 0得到 ∂ F ( X Δ X ) ∂ Δ X J F H F Δ X 0 \frac{\partial F(X\Delta X)}{\partial \Delta X}J_FH_F\Delta X0 ∂ΔX∂F(XΔX)​JF​HF​ΔX0 由此得到 Δ X \Delta X ΔX的取值。
7. 高斯-牛顿法 F ( X Δ X ) ∥ f ( X Δ X ) ∥ 2 F(X\Delta X) {\left| f(X\Delta X) \right|}^2 F(XΔX)∥f(XΔX)∥2 对 f ( X Δ X ) f(X\Delta X) f(XΔX)进行Taylor Expansion得到 f ( X Δ X ) f ( X ) J f Δ X O ( Δ X ) f(X\Delta X)f(X)J_f\Delta XO(\Delta X) f(XΔX)f(X)Jf​ΔXO(ΔX) 只取到一阶项。 F ( X Δ X ) ∥ f ( X Δ X ) ∥ 2 ( f ( X ) J f Δ X ) T ( f ( X ) J f Δ X ) ∥ f ( X ) ∥ 2 Δ X T J f T J f Δ X Δ X T J f T f ( X ) f ( X ) T J f Δ X ∥ f ( X ) ∥ 2 Δ X T J f T J f Δ X 2 f ( X ) T J f Δ X \begin{aligned} F(X\Delta X) {\left| f(X\Delta X) \right|}^2 \ (f(X)J_f\Delta X)^T(f(X)J_f\Delta X) \ {\left| f(X) \right|}^2\Delta X^TJ_f^TJ_f\Delta X\Delta X^TJ_f^Tf(X)f(X)^TJ_f\Delta X \ {\left| f(X) \right|}^2\Delta X^TJ_f^TJ_f\Delta X2f(X)^TJ_f\Delta X \end{aligned} F(XΔX)​∥f(XΔX)∥2(f(X)Jf​ΔX)T(f(X)Jf​ΔX)∥f(X)∥2ΔXTJfT​Jf​ΔXΔXTJfT​f(X)f(X)TJf​ΔX∥f(X)∥2ΔXTJfT​Jf​ΔX2f(X)TJf​ΔX​ 使等式对 Δ X \Delta X ΔX求导等于 0 0 0得到 ∂ F ( X Δ X ) ∂ Δ X 2 J f T J f Δ X 2 f ( X ) T J f 0 \frac{\partial F(X\Delta X)}{\partial \Delta X}2J_f^TJ_f\Delta X2f(X)^TJ_f0 ∂ΔX∂F(XΔX)​2JfT​Jf​ΔX2f(X)TJf​0 可以求得 J f T J f Δ X − f ( X ) T J f J_f^TJ_f\Delta X-f(X)^TJ_f JfT​Jf​ΔX−f(X)TJf​