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陶瓷 网站模板,注册网站会员需要详细,wordpress 商场插件,西安网站建设中心实数的奥秘#xff1a;柯西序列深度解析 一、柯西序列的概念与性质二、柯西序列定义无理数三、柯西序列定义实数系统 实数#xff0c;是初中学到的概念#xff0c;我知都知道它是有理数和无理数的统称。 然而#xff0c;实数可不只是小数点后的一堆零碎儿#xff0c;它背后… 实数的奥秘柯西序列深度解析 一、柯西序列的概念与性质二、柯西序列定义无理数三、柯西序列定义实数系统 实数是初中学到的概念我知都知道它是有理数和无理数的统称。 然而实数可不只是小数点后的一堆零碎儿它背后还有着高深莫测理论。 一、柯西序列的概念与性质 柯西序列Cauchy sequence是这样一个序列随你任意给出一个正有理数ε无论多小都行。总能在序列中找到这么一项在这项之后任意两个元素其差的绝对值都小于ε。 最简单的柯西序列就是常数序列比如{3, 3 , 3, …}其所有元素的差值都为0绝对小于任何的正有理数。 但是这种小儿科的玩艺不是柯西序列的真正用武之地它主要用于序列元素不同的情况。这时候柯西序列就会表现出一个特别的性质随着序列项数的增加元素间的差值越来越小。 如果把这种柯西序列中的元素看成数轴上的一系列点那么越往右这些点越密集点与点间的距离越小。但无论怎样密集它们都位于某一个点的左侧。 如果把序列项数n做为横坐标把序列元素的值$X_n作为纵坐标则柯西序列就是下图中的一些点
现在相信你已经明白柯西序列是个什么东东了。这时候咱们再用一种高大上的方法表示一下这玩艺。 数学定义 设序列 { x n } ⊂ X {x_n}\subset X {xn​}⊂X若 { x n } {x_n} {xn​}满足当 m , n → ∞ m, n \to \infty m,n→∞时有 d ( x m , x n ) → 0 d(x_m, x_n)\to 0 d(xm​,xn​)→0则称 { x n } {x_n} {xn​}是 X X X的柯西序列。 d ( x m , x n ) d(x_m, x_n) d(xm​,xn​)表示序列中的元素 x m x_m xm​与 x n x_n xn​的差的绝对值。 现在是不是看着也挺好理解的这就是数学公式的特点。如果上来就摆公式肯定头大但是如果先理解了再去看这玩艺就是纸老虎。 再看看它的性质若序列 { x n } {x_n} {xn​}收敛则 { x n } {x_n} {xn​}是柯西序列。 证明 若序列 { x n } {xn} {xn​}收敛则说明其有极限。 设 lim ⁡ n → ∞ x n x \lim{n \to \infty} x_n x limn→∞​xn​x则当 m , n → ∞ m, n \to \infty m,n→∞时有 d ( x m , x n ) ≤ d ( x m , x ) d ( x n , x ) → 0 d(x_m, x_n)\le d(x_m, x) d(x_n, x)\to 0 d(xm​,xn​)≤d(xm​,x)d(xn​,x)→0故 { x n } {x_n} {xn​}是柯西序列。 这个貌似也挺好理解的吧 二、柯西序列定义无理数 举个最简单的元素不同的柯西序列例子咱们都背过 π \pi π假设有这么一个数列 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}也就是每个元素都在上一个元素的基础上增加1位小数。显然越往后序列中元素的差值就越小。因为这个数是无限的其差值无限趋近于0而序列中的元素无限趋近于 π \pi π。 无限趋近于这说的不就是极限吗 表现在数轴上它们就是一些越往右越集中的点且这些点都位于 π \pi π的左侧无限地接近 π \pi π这个点。 见证奇迹的时刻到了尽管这个序列中的所有项都是有理数但它们却可以收敛到一个无理数。柯西序列展示出了有理数与无理数之间的联系无理数是有理数构成的柯西序列的极限。 如果把某个无理数比如 π \pi π看成空间中的一点那么柯西序列就像射向这个点的一串子弹。只不过这些子弹只能无限地接近于目标点却永远别想打到它。 目标神秘人物小子别想打到我! 有理君神了我去近在咫尺咋就打不到呢 目标神秘人物因为我有不讲“理”的防护罩而你的子弹讲“理”。 也就是说这个有理数虽然无限地逼近无理数但只要还在有理数的范围内这就永远没有极限。 要想到达这个极限必须突破有理数的范围。 突破有理数的条件就是有理数子弹是无穷无尽的量变引起质变就会达到极限这个极限就是无理数。 这样无理数就有了新的定义有理数柯西序列的极限序列元素不同。 三、柯西序列定义实数系统 有了柯西序列的加持我们可以给实数重新下个统一性的定义。 为什么要重新下个定义呢因为“有理数和无理数的统称”这个定义没有揭示实数的实质。这种定义方法就好像把人定义为“男人和女人的统称”一样。 将人定义为男人和女人的统称虽然也没什么问题但没有指出人和其他动物的区别。同样的道理将实数定义为有理数和无理数的统称也没说出实数与其他数的区别。 这个统一性的定义官方有一个非常绕舌的学术表述实数为所有收敛到同一极限的有理数序列的等价类。 这个定义可能比较严谨但是不容易理解。尤其里面搞出个新名词等价类。如果想了解这是什么玩艺老金在文章最后会给出解释。 老金认为可以这样简单理解实数是有理数柯西序列的极限。 一共不就这么两种情况嘛 ①有理数柯西序列是个常数序列就像{3, 3 , 3, …}这时候它的极限就是有理数。 ②无理数柯西序列中的元素值是不同的就像{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}这时候它的极限就是无理数。 就这么简单。 然而这个定义丧失了“有理数和无理数的统称”的肤浅有着深刻的意义将有理数作为载体以柯西序列为桥梁用有理数表示无理数、实数揭示出有理数、无理数、实数的联系。 最重要的它还揭示了实物的根本性质完备性。 所谓的完备性用一句话来形容就是“所有的……都……”。用柯西序列定义实数实数的完备性就体现出来了所有柯西序列都有极限。实数的完备性表现在数轴上是我们学校里都学过的就是所有的实数在数轴上都有对应的点、所有数轴上的点都对应一个实数。 附“等价类”的解释 最后说说前面官方定义中的“等价类”是个啥。这玩艺其实说的是同一个极限可能对应多个不同的柯西序列而因为它们的极限相同这些不同的柯西序列其实是等价的。 还是拿 π \pi π举例子它可以有多个柯西序列表示除了前面说的{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …}还可以表示为 {9257, 9257, 9257, 9257, 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, …} {5566, 9257, 5566, 9257, 3.2, 3.14, 3.141, 3.1415, …} 相信你已看明白老金想表达的意思这样的柯西序列可以列出无数个但它们的极限都是 π \pi π因而都是等价的这就是等价类的含义。 也就是说如果存在多个柯西序列收敛到同一个极限则将它们视为同一个实数。 但老金觉得这玩艺就是“严谨的复杂”了不了解无伤大雅所以才以附注的形式放在最后。谁还不明白这个意思呢说白了就是这么点勾当柯西序列的极限只跟最右侧的密集区有关跟左侧那些元素的值根本没有任何关系。左边那些东东就是在那里摆造型就像秃头上剩下的几根毛聊胜于无。