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台州市临海建设局网站,网站开发杭州,珠海市品牌网站建设公司,网站就业技术培训机构文章目录 总体、样本与统计量总体及其分布样本及其分布统计量统计量概念样本矩顺序统计量及其分布样本中位数与样本极差经验分布函数 参考文献 总体、样本与统计量 总体及其分布 在数理统计中#xff0c;称所研究的对象的全体为总体#xff0c;总体中的元素称为个体。若总体… 文章目录 总体、样本与统计量总体及其分布样本及其分布统计量统计量概念样本矩顺序统计量及其分布样本中位数与样本极差经验分布函数 参考文献 总体、样本与统计量 总体及其分布 在数理统计中称所研究的对象的全体为总体总体中的元素称为个体。若总体中的个体数目为有限则称之为有限总体否则就称之为无限总体。 理解总体与个体一批灯管10万支在研究这批灯管的平均使用寿命时该批灯管的全部使用寿命就组成一个总体而其中每个灯管的使用寿命是个体。 数理统计所关心的并非每个个体的所有属性而是它的某一项或若干项数量指标 X X X 和该数量指标 X X X 在总体中的分布情况。一方面说到总体必对应某数量指标 X X X 可能取值的集合另一方面研究任意数量指标 X X X其可能取值的全体即构成一个总体。因此把二者等同起来所谓总体的分布就是指数量指标 X X X 的分布。 数量指标 X X X 是一个随机变量于是总体的分布也就是随机变量 X X X 的概率分布。 样本及其分布 从总体中取得一部分个体这一部分个体称为样本。样本中的每个个体称为样品。样品中的个体数目称为样本容量。 取得样本的过程称为抽样抽样中采用的方法称为抽样法。在数理统计中一般采用随机抽样法即从总体中随意地抽取若干个个体。 设由样本 X 1 , … , X n X_1,…,X_n X1​,…,Xn​若 X 1 , … , X n X_1,…,X_n X1​,…,Xn​ 是独立同分布的且 X 1 X_1 X1​ 的分布与总体 X X X 的分布相同则称它为简单随机样本。 说样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 是 n n n 维随机向量这是针对进行一次抽样前而言实施了一次抽样后得到的是一个实向量 ( x 1 , … x n ) T (x_1,…x_n)^T (x1​,…xn​)T它是样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 的一个观察值称为样本值。 统计量 统计量概念 样本是推断总体特性的依据但在获得样本之后并不能由样本直接进行统计推断需要先对样本进行加工和提炼把样本中所含的总体的相关信息集中起来即针对不同的问题构造出样本的适当函数。这种样本的函数就称为统计量。 设 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 为总体 X X X 的一个样本若 g ( x 1 , … , x n ) g(x_1,…,x_n) g(x1​,…,xn​) 为样本空间 X \mathcal{X} X 到 R k \mathbf{R}^k Rk 的可测映射且 g g g 中不含任何未知参数则称 t g ( X 1 , … , X n ) tg(X_1,…,X_n) tg(X1​,…,Xn​) 为统计量。 粗略来说统计量就是用作统计的量因而它不能含未知参数。 样本矩 设 ( X 1 , … , X n ) (X_1,…,Xn) (X1​,…,Xn​) 为总体 X X X 的一个样本称统计量 X ˉ 1 n ∑ i 1 n X i \bar{X}\frac{1}{n}\sum{i1}^n Xi Xˉn1​i1∑n​Xi​ 为样本均值称统计量 S 2 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 1 n ∑ i 1 n X i 2 − X ˉ 2 S^2\frac{1}{n}\sum{i1}^n(Xi-\bar{X})^2\frac{1}{n}\sum{i1}^n Xi^2 - \bar{X}^2 S2n1​i1∑n​(Xi​−Xˉ)2n1​i1∑n​Xi2​−Xˉ2 及 S ∗ 2 1 n − 1 ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) 2 S^{*2}\frac{1}{n-1}\sum{i1}^n(X_i-\bar{X})^2 S∗2n−11​i1∑n​(Xi​−Xˉ)2 分别为样本方差及修正样本方差称样本方差的算数根 S S 2 S\sqrt{S^2} SS2 ​ 为样本标准差称统计量 A k 1 n ∑ i 1 n X i k Ak\frac{1}{n}\sum{i1}^n X_i^k Ak​n1​i1∑n​Xik​ 及 B k 1 n ∑ i 1 n ( X i − X ˉ ) k Bk\frac{1}{n}\sum{i1}^n(X_i-\bar{X})^k Bk​n1​i1∑n​(Xi​−Xˉ)k 分别为样本 k k k 阶原点矩及样本 k k k 阶中心矩。 由大数定律可以证明当 n n n 很大时可用一次抽样后所得的样本均值 x ˉ \bar{x} xˉ 和样本方差 s 2 s^2 s2 分别作为总体 X X X 的均值 μ \mu μ 和方差 σ 2 \sigma^2 σ2 的近似值。 顺序统计量及其分布 设 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 为总体 X X X 的一个样本其观察值为 ( x 1 , … , x n ) T (x_1,…,x_n)^T (x1​,…,xn​)T将 x 1 , … , x n x_1,…,xn x1​,…,xn​ 由小到大进行排列依次记为 x ( 1 ) , … , x ( n ) x{(1)},…,x{(n)} x(1)​,…,x(n)​即 x ( 1 ) ≤ … ≤ x ( n ) x{(1)}\le…\le x{(n)} x(1)​≤…≤x(n)​。按下述方法定义统计量 X ( k ) X{(k)} X(k)​当样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 取值为 ( x 1 , … , x n ) T (x_1,…,xn)^T (x1​,…,xn​)T 时规定 X ( k ) X{(k)} X(k)​ 取值为 x ( k ) x{(k)} x(k)​由此得到的 ( X ( 1 ) , … , X ( n ) ) T (X{(1)},…,X_{(n)})^T (X(1)​,…,X(n)​)T 称为样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,Xn)^T (X1​,…,Xn​)T 的顺序统计量或次序统计量 X ( k ) X{(k)} X(k)​ 称为样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,Xn)^T (X1​,…,Xn​)T 的第 k k k 个顺序统计量 X ( 1 ) X{(1)} X(1)​ 称为样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,Xn)^T (X1​,…,Xn​)T 的最小顺序统计量 X ( n ) X{(n)} X(n)​ 称为样本 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,X_n)^T (X1​,…,Xn​)T 的最大顺序统计量。 样本中位数与样本极差 设 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,Xn)^T (X1​,…,Xn​)T 为总体 X X X 的一个样本其顺序统计量为 ( X ( 1 ) , … , X ( n ) ) T (X{(1)},…,X{(n)})^T (X(1)​,…,X(n)​)T由 ( X ( 1 ) , … , X ( n ) ) T (X{(1)},…,X{(n)})^T (X(1)​,…,X(n)​)T 可定义在应用上有重要意义的样本中位数与样本极差。 称统计量 M e { X ( ( n 1 ) / 2 ) , n 为奇数 1 2 ( X ( n / 2 ) X ( ( n 1 ) / 2 ) ) , n 为偶数 Me\begin{cases} X{((n1)/2)}, n 为奇数 \ \frac{1}{2}(X{(n/2)}X{((n1)/2)}), n 为偶数 \end{cases} Me{X((n1)/2)​,21​(X(n/2)​X((n1)/2)​),​n为奇数n为偶数​ 为样本中位数。样本中位数具有计算方便且不受样本值中的异常值 (outlier) 影响的特点因而有时比样本均值更具有代表性。 称统计量 R X ( n ) − X ( 1 ) RX{(n)}-X{(1)} RX(n)​−X(1)​ 为样本极差。样本极差是反映样本值分散程度的量。 经验分布函数 设 ( X 1 , … , X n ) T (X_1,…,Xn)^T (X1​,…,Xn​)T 为总体 X X X 的一个样本其顺序统计量为 ( X ( 1 ) , … , X ( n ) ) T (X{(1)},…,X_{(n)})^T (X(1)​,…,X(n)​)T。当样本的观察值为 ( x 1 , … , x n ) T (x_1,…,xn)^T (x1​,…,xn​)T 时顺序统计量的观察值为 ( x ( 1 ) , … , x ( n ) ) T (x{(1)},…,x_{(n)})^T (x(1)​,…,x(n)​)T对任意实数 x x x记 F n ( x ) { 0 , x x ( 1 ) k n , x ( k ) ≤ x x ( k 1 ) , k 1 , 2 , … , n − 1 1 , x ( n ) ≤ x Fn(x)\begin{cases}0, xx{(1)}\ \frac{k}{n}, x{(k)}\le x x{(k1)},k1,2,…,n-1\ 1, x_{(n)}\le x \end{cases} Fn​(x)⎩ ⎨ ⎧​0,nk​,1,​xx(1)​x(k)​≤xx(k1)​,k1,2,…,n−1x(n)​≤x​ 则称 F n ( x ) F_n(x) Fn​(x) 是经验分布函数。 经验分布函数的性质 F n ( x ) F_n(x) Fn​(x) 是 x x x 的单调非降函数 F n ( x ) F_n(x) Fn​(x) 是 x x x 的右连续函数 F n ( − ∞ ) 0 , F n ( ∞ ) 1 F_n(-\infty)0,F_n(\infty)1 Fn​(−∞)0,Fn​(∞)1 参考文献 [1] 《应用数理统计》施雨西安交通大学出版社。