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设计网站设计公司,视频怎么转成网址,如何将网站和域名绑定,网站建设怎样容易全文链接#xff1a;https://tecdat.cn/?p38273 多模态数据在统计学中并不罕见#xff0c;常出现在观测数据来自两个或多个潜在群体或总体的情况。混合模型常用于分析这类数据#xff0c;它利用不同的组件来对数据中的不同群体或总体进行建模。本质上#xff0c;混合模型是… 全文链接https://tecdat.cn/?p38273 多模态数据在统计学中并不罕见常出现在观测数据来自两个或多个潜在群体或总体的情况。混合模型常用于分析这类数据它利用不同的组件来对数据中的不同群体或总体进行建模。本质上混合模型是几个代表不同潜在总体的统计分布的凸组合。关于此主题的近期综述可参考例如 Frühwirth-Schnatter、Celeux 和 Robert2018的相关著作点击文末“阅读原文”获取完整代码数据。 混合模型并不遵循高斯马尔可夫随机场的范式因为由混合模型生成的数据通常是多模态的。不过Gómez-Rubio 和 HRue2018提供了一种通过结合 INLA 和 MCMC 来用 INLA 拟合混合模型的方法Gómez-Rubio2017也探索了使用其他算法用 INLA 拟合混合模型。总体而言混合模型的分析较为复杂本文旨在建立 INLA 与这些模型之间的简短联系并展示如何用 INLA 拟合这些模型。 一混合模型的表示形式 混合模型通常可表示如下 这里{fk(⋅∣θk}Kk1这里注意不要翻译代码中的变量等符号是一组参数化分布w(w1,…,wK)是相关权重它们的定义使得其总和为一即∑Kk1wk1可将其视为数据中来自每个组的观测值的比例。 一种常见的拟合混合模型的方法是考虑 “扩充” 数据Dempster、Laird 和 Rubin1977即引入一个辅助变量z(z1,…,zn)来将每个观测值分配到一个组。因此变量zi,i1,…,n在集合{1,…,K}中取值。于是混合模型也可如下表示 辅助变量z的分布可表述为 考虑完整数据(y,z)模型似然变为 这里nk,k1,…,K是组k中的观测值数量。 需要注意的是如果使用可交换先验给定z不同的组是相互独立的。这意味着在给定z的条件下可以使用具有多个似然的模型用 INLA 拟合混合模型。如下文所述可通过多种方式利用这一点来用 INLA 拟合混合模型。 混合模型是不可识别的因为不同组的标记方式有些随意不同的标记可能会导致完全相同的模型。例如在一个有两组的混合模型中给定z的值如果标签互换即 1 设为 2反之亦然就会得到完全相同的模型。这就是众所周知的 “标签切换” 问题Celeux、Merrilee 和 Robert2000Stephens2000。因此通常会对θ的先验施加额外约束且不应使用不恰当的先验。处理此问题的一种简单方法是分配有信息的先验Carlin 和 Chib1995或对不同组的均值施加排序约束Diebolt 和 Robert1994Richardson 和 Green1997。 二数据集的喷发时间分析 “geyser” 数据集Azzalini 和 Bowman1990描述了黄石国家公园老忠实间歇泉的喷发持续时间以及两次喷发之间的间隔时间具体变量描述见表。 以下代码展示了如何加载数据并对数据集中的变量进行汇总 其输出结果如下 此外图  展示了这两个变量的散点图以及喷发持续时间的直方图和核密度估计。喷发时间的分布明显是多模态的拟合典型的线性回归可能不太合适。 双变量图还显示了喷发前时间与其持续时间之间的高度相关性。实际上国家公园管理员能够根据前一次喷发的持续时间预测下一次喷发的时间。 点击标题查阅往期内容 R语言贝叶斯分层、层次Hierarchical Bayesian模型房价数据空间分析 左右滑动查看更多 01 02 03 04 现在感兴趣的问题是量化数据集中有多少个组同时能够刻画每个喷发持续时间组的特征。对图 右侧图的直观检查表明数据中至少有两个不同的组其均值大致在 2 和 4 左右且两组之间的标准差相似。注意有几位作者曾建议该数据集中可能有更多的成分Zucchini、MacDonald 和 Langrock2016但为了简单起见我们这里只考虑两组的分析。 一种简单的方法是将数据简单地分成两组并拟合一个具有两个似然的模型。例如我们可以将所有喷发持续时间小于或等于 3 的喷发时间分配到组 1其他观测值分配到组 2。或者也可以使用 K-means 算法对数据进行初步的粗略分类。在这种特定情况下这两种方法将创建相同的初始数据分类。注意由于将使用两个不同的似然响应需要放入一个 2 列矩阵中。 此索引稍后将用于创建数据集现在也可用于显示分配到每个组的观测值数量 table(idx1) 其输出结果如下 注意到大多数观测值在第二组中如图 所示。 因为我们希望每个组有不同的均值所以必须使用与观测数据类似的结构将截距分成两部分。在这种情况下将使用一个 2 列矩阵其元素为 1 和NA。 #Create two different intercepts II - yy II\[II  0\] - 1 接下来可以通过在数据中使用值yy和I在调用inla()时分别命名为duration和Intercept以及两个似然来拟合模型 模型的汇总结果显示两组的均值估计值分别为 1.9994 和 4.2753。此外第一组的估计精度为 10.712而第二组的估计精度为 7.2257这使得第二组的喷发时间略具更大的可变性。 虽然这种方法能对两组之间的喷发时间得出合理的估计但存在两个问题。第一个问题是我们已经使用了一次数据来确定有两组以及这两组是如何定义的。其次这种方法忽略了每个观测值来自哪个组的内在不确定性。在将观测值分类到组中时这是一个重要问题简单的截断点很少是个好主意。 从建模的角度来看我们刚才所做的是在给定辅助变量z的条件下拟合模型即我们已经将z设置为给定的分类。虽然这在实践中可能有用有关使用 INLA 拟合条件模型的一些示例请参见 Gómez-Rubio 和 Palmí-Perales2019但在完整的贝叶斯分析中我们也应该对z的后验分布感兴趣。 用 INLA 拟合混合模型 一般而言混合模型很难拟合Celeux、Merrilee 和 Robert2000并且由于它们不能表示为潜在的高斯马尔可夫随机场GMRF所以不属于 INLA 能够拟合的模型类别。然而正如 Gómez - Rubio 和 HRue2018以及 Gómez - Rubio2017所指出的在给定变量(z)的条件下混合模型就变成了可以用 INLA 拟合的模型。 Gómez - Rubio2017指出混合模型的模型参数的后验边缘可以写成 需要注意的是这需要(z)的后验分布而通常这是未知的。不过如 Gómez - Rubio 和 HRue2018所示可以在马尔可夫链蒙特卡罗MCMC方法中使用 INLA 轻松估计它。 在这个例子中将使用 Metropolis - Hastings 算法来估计(z)的后验分布。因此需要一个建议分布来提出(z)的新值并且所有的赋值将作为一个整体被接受或拒绝即对于每个(z{i},i 1,\cdots,n)不是单独接受或拒绝。 建议分布(q(z^{\prime}\mid z))定义了在给定当前值(z)的情况下新值(z^{\prime})的概率。对于每个单独的(z{i})为(1)的概率为Marin、Mengersen 和 Robert2005 这里(f{1}(\cdot\mid\mu{1},\tau{1}))是均值为(\mu{1})、精度为(\tau{2})的正态分布这是在给定(z)条件下拟合模型得到的第一组的参数(f{2}(\cdot\mid\mu{2},\tau{2}))的定义与之类似。注意这里均值和精度的值取决于(z)。 这里的示例取自 Gómez - Rubio 和 HRue2018它依赖于 INLABMA 包中的 INLAMH()函数。 下面将描述在 MCMC 中使用 INLA 拟合混合模型所需的不同函数。为了对整体情况有一个概述实现此算法所需的不同函数如下 get.probs()给定潜在变量(z)的观测值计算不同组件的权重。dq.z()建议分布的密度概率函数。rq.z()建议分布的随机数生成器函数。fit.inla.internal()给定(z)的值拟合所需的 INLA 模型。这用于计算接受概率所需的条件边缘似然(\pi(y\mid z))。prior.z()计算(z)的先验。 此外需要注意的是在以下函数中存储观测值分类的变量不是一个简单的表示观测值所属组的向量而是一个更复杂的数据结构。特别是它是一个包含以下元素的列表 z指示观测值所属的向量。m在(z)值条件下用 INLA 拟合的模型。它是一个包含两个组件的列表拟合的 INLA 模型和模型拟合的边缘似然。 注意例如函数(rq.z())返回这种类型的对象。这是用于表示变量(z)的数据结构并传递给几个函数用于计算。包含模型拟合的原因是为了避免在 Metropolis - Hastings 算法的实现中多次拟合模型。 在描述所需函数之前要使用的组数为(2)在变量(n.grp)中设置供下面定义的一些函数使用。此外变量(grp)定义为一个向量用于存储观测值最初所属的组 # 组数 n.grp - 2# 初始分类 grp - rep(1, length(geyser\(duration)) grp\[!idx1\] - 2 函数fit.inla.internal()用于在给定(z)的情况下实际拟合所需的模型在下面的rq.z()函数中使用。需要注意的是下面还定义了另一个类似的函数inla.fit()用于类似目的。这两个函数的主要区别在于fit.inla.internal()调用inla()在(z)条件下拟合条件模型而fit.inla()只是从表示(z)值和模型拟合的复杂数据结构中获取拟合模型。 # y响应值向量 # grp分配变量的整数向量 fit.inla.internal - function(y, grp) {# 两列格式的数据yy - matrix(NA, ncol  n.grp, nrow  length(y))for(i in 1:n.grp) {idx - which(grp  i)yy\[idx, i\] - y\[idx\]}# X存储模型中的截距x - yyx\[!is.na(x)\] - 1d - list(y  yy, x  x)# 模型拟合在z条件下m1 - inla(y ~ -1  x, data  d,family  rep(gaussian, n.grp),# control.fixed  list(mean  list(x1  2, x2  4.5), prec  1)control.fixed  list(mean  prior.means, prec  1))res- list(model  m1, mlik  m1\)mlik[1, 1])return(res) } 表示分组分配和相关模型拟合的初始数据结构如上所述接下来在变量grp.init中定义。需要注意的是由于这包括模型拟合所以通过变量prior.means定义了组均值上高斯先验分布的先验均值。此外设置变量scale.sigma用于建议分布。 下面展示了实现 Metropolis - Hastings 算法所需的函数。作为 R 语言的注释给出了它们各自参数的一些信息。 函数get.probs()将根据(z)的当前值作为从(1)到(K)的整数向量传递计算每个组件的权重。 # 属于每个组的概率 # z值从1到组数的整数向量 get.probs - function(z) {probs - rep(0, n.grp)tab - table(z)probs[as.integer(names(tab))] - tab / sum(tab)return(probs) } 接下来定义函数dq.z()来计算给定当前值(z.old)时(z)的新值(z.new)的密度。需要注意的是这些值是如上所述的数据结构而不仅仅是整数向量。 使用给定(z)当前值的建议分布对(z)进行随机观测采样的函数是rq.z()。需要注意的是(z)是一个复杂的数据结构包括指示向量和模型拟合如上所述。 # FIXME这里我们不考虑可能的标签切换 # zz的当前值 rq.z - function(z) {m.aux - z\(m\)model means - m.aux\(summary.fixed\[, mean\]precs - m.aux\)summary.hyperpar[, mean]ws - get.probs(z\(z)z.sim - sapply(1:length(z\)z), function (X) {aux - ws * dnorm(y[X], means, scale.sigma  sqrt(1 / precs))sample(1:n.grp, 1, prob  aux / sum(aux))})# 拟合模型z.model - fit.inla.internal(y, z.sim)# 新值z.new - list(z  z.sim, m  z.model)return(z.new) } (z)上的先验分布简单地是概率为(0.5)的伯努利分布的乘积以提供一个模糊先验 函数fit.inla()是 INLAMH()函数用于在给定(z)值的情况下拟合模型的函数。在这个特定的实现中实际的模型拟合是在函数rq.z()中使用fit.inla.internal()函数完成的因此fit.inla()只是从数据结构中检索元素(m)。 fit.inla - function(y, grp) {return(grp\(m) } 接下来需要调用INLAMH()函数来拟合模型。由于起始点接近数据的最优划分但需要注意这并不常见所以不需要大量的预烧迭代。此外迭代次数保持在较低的(100)次每隔(5)次取一次因为在这个特定的例子中只有少数观测值的后验概率可能不接近(0)或(1)。在更复杂的例子中可能需要更高的模拟次数。 一旦模型拟合完成它将返回一个包含拟合模型和(z)值其中包括许多实际上不需要的辅助变量的列表。(z)的采样值可以通过以下方式获得 zz - do.call(rbind, lapply(inlamh.res\)b.sim, function(X){X$z})) 从后验分布(\pi(z\mid y))的这个样本中我们可以计算属于每个组的后验概率 zz.probs - apply(zz, 2, get.probs) 需要注意的是大多数观测值的概率为(0)和(1)即分类非常清晰只有少数观测值在分类中会显示出一些不确定性。图展示了观测值与属于喷发持续时间较短组即(z_{i}1)的后验概率的关系。 还可以获得与(z)采样值相关的所有模型的条件边缘似然以深入了解模拟过程 这些也显示在图右图中它们展示了初始模型拟合其边缘似然为 - 140.16相比采样算法如何使条件边缘似然增加。这也意味着较短的预烧期就足够了。 此外链显示只探索了少数几种分类。可以通过增加用于抽样的迭代次数或选择不同的建议分布例如选择标准差更大的值如两倍的值来轻松改变这种行为。然而在这个特定的情况下大多数观测值属于两个组之一的后验概率很高这意味着它们总是被分到同一组。因此后验概率集中在少数几种分类中只有喷发持续时间约为(3)分钟的观测值会被分到两组中的任何一组。 混合模型的模型选择 混合模型组件数量确定的挑战与方法 在混合模型中确定模型的组件数量往往颇具难度迄今为止已有诸多相关提议。在此我们将通过已知组数来探讨混合模型边际似然的估计方法。需注意可按如下方式Gómez - Rubio2017计算边际似然 要注意的是在给定(z)的情况下通过用INLA拟合模型所返回的边际似然能够较为准确地近似(\pi(y\mid z z))。此外(\pi(z))是先验分布其始终是已知的。 另外还可通过如下方式Chib1995计算混合模型的边际似然 需注意为使上述计算稳定(z^{})的后验概率必须远离零。一个不错的选择是(z)的后验众数。 例如我们可以选取具有最高边际似然值的(z)值注意所有(z)值的先验值相同这里选取在第60次迭代时得到的值 z.idx - 60 然后由INLA提供的条件边际似然(\pi(y\mid z z^{*}))的估计值为 # 边际似然对数尺度 mliks[z.idx] 输出结果如下 ## [1] -131.8 接下来计算(z^{})处的先验(\pi(z z^{}))对数尺度 # 先验对数尺度 prior.z(inlamh.res\(b.sim\[\[z.idx\]\]) 输出结果如下 ## \[1\] -207.3 最后从通过MCMC算法获得的(z)的后验分布样本中获取(z{})的后验概率。具体做法是简单检查(z{})在(z)的后验分布样本中出现的比例 # 后验概率 z.post - table(apply(zz, 1, function(x) {paste(x, collapse  )})) / 100# 获取z^*的对数尺度后验概率 log.pprob - unname( log(z.post\[names(z.post) paste(inlamh.res\)b.sim[[z.idx]]\(z, collapse  )\]) ) log.pprob 输出结果如下 ## \[1\] -1.561 需要注意的是上述使用了paste()函数目的是通过将(z)的所有值拼接在一起为每个(z)值创建一个唯一的标签。生成的标签长度与观测值数量相同可能会很长。无论如何这是一种用标签标识潜在变量每个值的简单方法不过在实际应用中应优先选择更简短的方式如哈希表。为(z)的每个值提供一个唯一标签能让我们直接对样本值使用table()函数以计算潜在变量每个值在MCMC样本中出现的次数。 因此边际似然对数尺度的估计值为 mlik.mix - mliks\[z.idx\]  prior.z(inlamh.res\)b.sim[[z.idx]]) - log.pprob mlik.mix 输出结果如下 ## [1] -337.5 需要注意的是这种边际似然的估计依赖于对(\pi(y\mid z z^{}))由INLA提供和(\pi(z z^{}\mid y))从MCMC样本中获得的近似。因此为获得可靠估计可能需要运行MCMC算法更多的迭代次数。 可将获得的这个边际似然值与对整个数据集拟合单一似然的高斯模型时INLA所报告的值进行比较 inla(duration ~ 1, data  geyser)\(mlik\[1,1\] 输出结果如下 ## log marginal-likelihood (integration)  ##                                 -478.6 不同组件数量混合模型的应用与分析 最后可使用相同方法对数据拟合一个具有三个组件的模型。这需要将组数设置为三并生成一个合适的起始点在此例中是将数据等分为三组 # 组数 n.grp - 3# 初始分类 grp3 - as.numeric(cut(geyser\)duration, 3)) grp.init3 - list(z  grp3, m  fit.inla.internal(y, grp3)) 接下来设置先验均值以及建议分布的标准差尺度 # 均值的先验 prior.means - list(x1  2, x2  3.5, x3  5) # 建议分布的标准差尺度 scale.sigma - 1 一旦定义了所有用于拟合具有三个组件的混合模型的参数就可使用INLAMH()函数进行模型拟合 然后可按照之前类似的方法计算这个具有三个组件的混合模型的边际似然。首先获取具有最大条件边际似然(z^{})的(z)值 ## 条件在z上边际似然 mliks3 - do.call(rbind, lapply(inlamh.res3\(model.sim, function(X){X\)mlik})) # 具有最大条件边际似然的z^ z.idx3 - which.max(mliks3) 接下来从MCMC样本中估计(z^{})的对数后验概率 最后通过将这两个值与(z^{})的先验概率相结合来估计边际似然 # 边际似然 mlik.mix3 : mliks3[z.idx3]  prior.z(inlamh.res3\(b.sim\[\[z.idx3\]\]\)z) -log.pprob3 mlik.mix3 输出结果如下 ## [1] -291.4 需要注意的是现在获得的边际似然估计值比具有1个和2个组件的模型的估计值要大。这意味着数据中可能至少有三个组而非如Zucchini、MacDonald和Langrock2016所讨论的只有两个组。 为了汇总使用具有2个和3个组件的模型的拟合情况图展示了利用模型参数的后验均值得到的混合情况。将使用函数inla.merge()来合并在Metropolis - Hastings算法中获得的所有模型。这将提供模型中均值和精度的后验均值。权重(w)的后验均值将从每个组中观测值比例的后验均值中获得假设先验是非常模糊的均匀先验。 类似地对于具有3个组件的模型 生存模型治愈模型在INLA中的应用及相关分析 生存模型假设所有个体最终都会经历感兴趣的事件。然而在某些情况下个体可能被治愈因此不会再经历该事件。典型的情况是患者在接受适当治疗后从疾病中康复。 这种情况可以方便地用一个包含两组的混合模型来表示一组是治愈的个体另一组是未治愈且已经经历或最终会经历事件的个体。这是一种特殊的只有两类的混合模型。此外由于一些个体已经经历了事件所以会自动被分配到第二组。这使得治愈模型更容易识别因为这些个体有助于识别第二组进而有助于识别第一组。 模型描述 该模型可以描述如下 这里f(⋅∣θ)f(⋅∣θ)表示威布尔分布在INLA中其参数化如下 注意威布尔分布的这种参数化类似于似然函数weibull中variant 0的威布尔族。 在上述方程中yiyi表示生存时间它是一个非负变量αα是正形状参数λλ是与线性预测因子相关的参数。这种关联如下 该模型的先验是在参数αα和ww的内部表示上定义的。特别地内部参数化如下 这种参数化确保了θ1θ1和θ2θ2不在有界区间内这简化了优化和模型拟合。θ1θ1的默认先验是参数为25和25的对数伽马分布θ2θ2的先验是均值为 - 1、精度为0.2的高斯分布。 Cai等人)提供了来自东部肿瘤协作组ECOGIII期临床试验e1684的数据集详见Kirkwood等人。该临床试验是为了测试干扰素α - 2bIFNα - 2b在转移性黑色素瘤中是否具有抗肿瘤活性。 原始数据集可以按如下方式加载 为了使总结结果更具信息量将为数据集中的因子分配这些标签 # 为因子分配标签 e1684\(TRT - as.factor(e1684\)TRT) levels(e1684\(TRT) - c(Control, IFN)e1684\)SEX - as.factor(e1684\(SEX) levels(e1684\)SEX) - c(Female, Male) 最后由于存在缺失观测值将删除第37个观测值 # 删除第37个观测值因为它有缺失值 d - na.omit(e1684) 现在可以对数据进行如下总结 接下来使用survival包中的survfit()函数获得生存时间的Kaplan - Meier估计 # 加载survival库 library(survival) # 使用survfit函数计算Kaplan - Meier估计 km - survfit(Surv(d\(FAILTIME, d\)FAILCENS) ~ 1) 接下来拟合模型。 # 创建用于INLA分析的数据列表 d.inla - list(y  inla.surv(d\(FAILTIME, d\)FAILCENS),Treatment  d\(TRT, Age  d\)AGE, Female  d$SEX)# 使用INLA拟合治愈模型 cure.inla - inla(y ~ Treatment  Age  Female, family  weibullcure,data  d.inla) summary(cure.inla) 这些估计值与Lázaro、Armero和Gómez - Rubio报告的相似他们比较了MCMC和一种与INLA中的吉布斯采样类似的不同模型拟合方法。 注意治愈模型估计治愈患者比例的后验均值为0.2968。使用典型的威布尔生存模型即忽略被治愈的可能性将得到以下结果 # 使用INLA拟合威布尔生存模型 weibull.inla - inla(y ~ Treatment  Age  Female, family  weibullsurv,data  d.inla, control.family  list(list(variant  0))) summary(weibull.inla) 注意现在治疗的效果是显著的。因此假设患者可以被治愈对模型中主要效应的估计有重要影响。此外治愈模型的边缘似然大于威布尔模型的边缘似然这表明治愈模型拟合得更好。然而请记住边缘似然不会对模型的复杂性进行惩罚。过度拟合的模型往往有更高的边缘似然值。 参考文献 Azzalini, A., and A. W. Bowman. 1990. “A Look at Some Data on the Old Faithful Geyser.” Applied Statistics 39: 357–65. Cai, Chao, Yubo Zou, Yingwei Peng, and Jiajia Zhang. 2012a. “Smcure: An R-Package for Estimating Semiparametric Mixture Cure Models.” Computer Methods and Programs in Biomedicine 108 (3): 1255–60. 本文中分析的数据、代码分享到会员群扫描下面二维码即可加群  资料获取 在公众号后台回复“领资料”可免费获取数据分析、机器学习、深度学习等学习资料。 点击文末“阅读原文” 获取全文完整代码数据资料。 本文选自《R语言贝叶斯分析INLA 、MCMC混合模型、生存分析肿瘤临床试验、间歇泉喷发时间数据应用|附数据代码》。 点击标题查阅往期内容 课程视频|R语言bnlearn包贝叶斯网络的构造及参数学习的原理和实例 R语言贝叶斯分层、层次Hierarchical Bayesian模型房价数据空间分析 R语言Gibbs抽样的贝叶斯简单线性回归仿真分析 python贝叶斯随机过程马尔可夫链Markov-ChainMC和Metropolis-HastingsMH采样算法可视化 Python贝叶斯推断Metropolis-HastingsM-HMCMC采样算法的实现 Metropolis Hastings采样和贝叶斯泊松回归Poisson模型 Matlab用BUGS马尔可夫区制转换Markov switching随机波动率模型、序列蒙特卡罗SMC、M H采样分析时间序列 R语言RSTAN MCMCNUTS采样算法用LASSO 构建贝叶斯线性回归模型分析职业声望数据 R语言BUGS序列蒙特卡罗SMC、马尔可夫转换随机波动率SV模型、粒子滤波、Metropolis Hasting采样时间序列分析 R语言Metropolis Hastings采样和贝叶斯泊松回归Poisson模型 R语言贝叶斯MCMC用rstan建立线性回归模型分析汽车数据和可视化诊断 R语言贝叶斯MCMCGLM逻辑回归、Rstan线性回归、Metropolis Hastings与Gibbs采样算法实例 R语言贝叶斯Poisson泊松-正态分布模型分析职业足球比赛进球数 R语言用Rcpp加速Metropolis-Hastings抽样估计贝叶斯逻辑回归模型的参数 R语言逻辑回归、Naive Bayes贝叶斯、决策树、随机森林算法预测心脏病 R语言中贝叶斯网络BN、动态贝叶斯网络、线性模型分析错颌畸形数据 R语言中的block Gibbs吉布斯采样贝叶斯多元线性回归 Python贝叶斯回归分析住房负担能力数据集 R语言实现贝叶斯分位数回归、lasso和自适应lasso贝叶斯分位数回归分析 Python用PyMC3实现贝叶斯线性回归模型 R语言用WinBUGS 软件对学术能力测验建立层次分层贝叶斯模型 R语言Gibbs抽样的贝叶斯简单线性回归仿真分析 R语言和STAN,JAGS用RSTAN,RJAG建立贝叶斯多元线性回归预测选举数据 R语言基于copula的贝叶斯分层混合模型的诊断准确性研究 R语言贝叶斯线性回归和多元线性回归构建工资预测模型 R语言贝叶斯推断与MCMC实现Metropolis-Hastings 采样算法示例 R语言stan进行基于贝叶斯推断的回归模型 R语言中RStan贝叶斯层次模型分析示例 R语言使用Metropolis-Hastings采样算法自适应贝叶斯估计与可视化 R语言随机搜索变量选择SSVS估计贝叶斯向量自回归BVAR模型 WinBUGS对多元随机波动率模型贝叶斯估计与模型比较 R语言实现MCMC中的Metropolis–Hastings算法与吉布斯采样 R语言贝叶斯推断与MCMC实现Metropolis-Hastings 采样算法示例 R语言使用Metropolis-Hastings采样算法自适应贝叶斯估计与可视化 视频R语言中的Stan概率编程MCMC采样的贝叶斯模型 R语言MCMC:Metropolis-Hastings采样用于回归的贝叶斯估计