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1. 直角坐标和极坐标 直角坐标表示为 ( x , y ) (x,y) (x,y)#xff0c;极坐标表示为 ( ρ , φ ) (\rho,\varph…我们经常需要在一些问题中研究坐标系的关系这里讲讲最常见的极坐标和直角坐标的雅克比矩阵的推导。以二维坐标为例三维坐标也是同理。
2. 直角坐标和极坐标 直角坐标表示为 ( x , y ) (x,y) (x,y)极坐标表示为 ( ρ , φ ) (\rho,\varphi) (ρ,φ)它们之间有如下的关系 ρ 2 x 2 y 2 , φ arctan ⁡ y x ; x ρ cos ⁡ φ , y ρ sin ⁡ φ \begin{aligned} \rho^2x^2y^2,\quad \varphi\arctan\frac{y}{x};\ x\rho\cos\varphi,\quady\rho\sin\varphi \end{aligned} ρ2x2y2,xρcosφ,​φarctanxy​;yρsinφ​
3. 向量之间的雅克比矩阵 向量X和向量Y的微分映射由雅克比矩阵来刻画给定两个向量 x ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T \mathbf{x}(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T x(x1​,x2​,⋯,xn​)T y ( y 1 , y 2 , ⋯ , y m ) T \mathbf{y}(y_1,y_2,\cdots,y_m)^T y(y1​,y2​,⋯,ym​)T { d x 1 ∂ x 1 ∂ y 1 d y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 d y 2 ⋯ ∂ x 1 ∂ y m d y m d x 2 ∂ x 2 ∂ y 1 d y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 d y 2 ⋯ ∂ x 2 ∂ y m d y m ⋮ d x n ∂ x n ∂ y 1 d y 1 ∂ x n ∂ y 2 d y 2 ⋯ ∂ x n ∂ y m d y m \begin{aligned} \begin{cases} \mathrm{d}x_1\dfrac{\partial x_1}{\partial y_1}\mathrm{d}y_1\dfrac{\partial x_1}{\partial y_2}\mathrm{d}y_2\cdots\dfrac{\partial x_1}{\partial y_m}\mathrm{d}y_m\ \mathrm{d}x_2\dfrac{\partial x_2}{\partial y_1}\mathrm{d}y_1\dfrac{\partial x_2}{\partial y_2}\mathrm{d}y_2\cdots\dfrac{\partial x_2}{\partial y_m}\mathrm{d}y_m\ \vdots\ \mathrm{d}x_n\dfrac{\partial x_n}{\partial y_1}\mathrm{d}y_1\dfrac{\partial x_n}{\partial y_2}\mathrm{d}y_2\cdots\dfrac{\partial x_n}{\partial y_m}\mathrm{d}y_m\ \end{cases} \end{aligned} ⎩ ⎨ ⎧​dx1​∂y1​∂x1​​dy1​∂y2​∂x1​​dy2​⋯∂ym​∂x1​​dym​dx2​∂y1​∂x2​​dy1​∂y2​∂x2​​dy2​⋯∂ym​∂x2​​dym​⋮dxn​∂y1​∂xn​​dy1​∂y2​∂xn​​dy2​⋯∂ym​∂xn​​dym​​​ 写成矩阵的形式就是 ( d x 1 d x 2 ⋮ d x n ) ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ⋯ ∂ x 1 ∂ y m ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ⋯ ∂ x 2 ∂ y m ⋮ ⋮ ⋮ ∂ x n ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ⋯ ∂ x n ∂ y m \begin{pmatrix} \mathrm{d}x_1\ \mathrm{d}x_2\ \vdots\ \mathrm{d}x_n \end{pmatrix} \begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_1}{\partial y_m}\ \dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_2}{\partial y_m} \ \vdots \vdots \vdots\ \dfrac{\partial x_n}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_n}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_n}{\partial y_m} \end{bmatrix}\begin{pmatrix} \mathrm{d}y_1\ \mathrm{d}y_2\ \vdots\ \mathrm{d}y_m \end{pmatrix} ​dx1​dx2​⋮dxn​​ ​ ​∂y1​∂x1​​∂y1​∂x2​​⋮∂y1​∂xn​​​∂y2​∂x1​​∂y2​∂x2​​⋮∂y2​∂xn​​​⋯⋯⋯​∂ym​∂x1​​∂ym​∂x2​​⋮∂ym​∂xn​​​ ​ ​dy1​dy2​⋮dym​​ ​ 其中的矩阵 ∂ ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) ∂ ( y 1 , y 2 , ⋯ , y m ) [ ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 2 ⋯ ∂ x 1 ∂ y m ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ⋯ ∂ x 2 ∂ y m ⋮ ⋮ ⋮ ∂ x n ∂ y 1 ∂ x n ∂ y 2 ⋯ ∂ x n ∂ y m ] \frac{\partial(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\partial(y_1,y_2,\cdots,y_m)}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_1}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_1}{\partial y_m}\ \dfrac{\partial x_2}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_2}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_2}{\partial y_m} \ \vdots \vdots \vdots\ \dfrac{\partial x_n}{\partial y_1} \dfrac{\partial x_n}{\partial y_2} \cdots \dfrac{\partial x_n}{\partial y_m} \end{bmatrix} ∂(y1​,y2​,⋯,ym​)∂(x1​,x2​,⋯,xn​)​ ​∂y1​∂x1​​∂y1​∂x2​​⋮∂y1​∂xn​​​∂y2​∂x1​​∂y2​∂x2​​⋮∂y2​∂xn​​​⋯⋯⋯​∂ym​∂x1​​∂ym​∂x2​​⋮∂ym​∂xn​​​ ​ 就是雅克比矩阵。我们称从坐标 y \mathbf{y} y(分母)到 x \mathbf{x} x(分子)的雅克比矩阵。
4. 极坐标到直角坐标的雅克比矩阵 这个比较简单利用关系 x ρ cos ⁡ φ , y ρ sin ⁡ φ x\rho\cos\varphi,y\rho\sin\varphi xρcosφ,yρsinφ ∂ x ∂ ρ cos ⁡ φ , ∂ x ∂ φ − ρ sin ⁡ φ ∂ y ∂ ρ sin ⁡ φ , ∂ y ∂ φ ρ cos ⁡ φ \begin{aligned} \dfrac{\partial x}{\partial \rho}\cos\varphi, \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}-\rho\sin\varphi\ \dfrac{\partial y}{\partial \rho}\sin\varphi, \dfrac{\partial y}{\partial \varphi}\rho\cos\varphi \end{aligned} ∂ρ∂x​cosφ,∂ρ∂y​sinφ,​∂φ∂x​−ρsinφ∂φ∂y​ρcosφ​ 我们可以写出雅克比矩阵 ∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , φ ) [ ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ φ ] [ cos ⁡ φ − ρ sin ⁡ φ sin ⁡ φ ρ cos ⁡ φ ] \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\varphi)}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial \rho} \dfrac{\partial x}{\partial \varphi}\ \dfrac{\partial y}{\partial \rho} \dfrac{\partial y}{\partial \varphi} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi -\rho\sin\varphi\ \sin\varphi \rho\cos\varphi \end{bmatrix} ∂(ρ,φ)∂(x,y)​ ​∂ρ∂x​∂ρ∂y​​∂φ∂x​∂φ∂y​​ ​[cosφsinφ​−ρsinφρcosφ​]
5. 直角坐标到极坐标的雅克比矩阵 这里有两种方法。 4.1 直接求解 利用关系 ρ 2 x 2 y 2 , φ arctan ⁡ y x \rho^2x^2y^2,\quad \varphi\arctan\frac{y}{x} ρ2x2y2,φarctanxy​我们可以对上式直接应用求导 对于第一个式子 ρ x 2 y 2 \rho\sqrt{x^2y^2} ρx2y2 ​ 直接求导有 ∂ ρ ∂ x 2 x 2 x 2 y 2 x ρ cos ⁡ φ ∂ ρ ∂ y 2 y 2 x 2 y 2 y ρ sin ⁡ φ \frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{2x}{2\sqrt{x^2y^2}}\frac{x}{\rho}\cos\varphi\ \frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{2y}{2\sqrt{x^2y^2}}\frac{y}{\rho}\sin\varphi ∂x∂ρ​2x2y2 ​2x​ρx​cosφ∂y∂ρ​2x2y2 ​2y​ρy​sinφ 对于第二个式子直接求导有 ∂ φ ∂ x − y x 2 1 y 2 x 2 − y x 2 y 2 − y ρ 2 − sin ⁡ φ ρ ∂ φ ∂ y 1 x 1 y 2 x 2 x x 2 y 2 x ρ 2 cos ⁡ φ ρ \frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{-\dfrac{y}{x^{2}}}{1\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}\frac{-y}{x^{2}y^{2}}\frac{-y}{\rho^2}\frac{-\sin\varphi}{\rho}\ \frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\dfrac{1}{x}}{1\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}\frac{x}{x^{2}y^{2}}\frac{x}{\rho^2}\frac{\cos\varphi}{\rho} ∂x∂φ​1x2y2​−x2y​​x2y2−y​ρ2−y​ρ−sinφ​∂y∂φ​1x2y2​x1​​x2y2x​ρ2x​ρcosφ​ 当然也可以用全微分的方法来求解我们对第一个式子全微分 2 ρ d ρ 2 x d x 2 y d y 2\rho\mathrm{d}\rho2x\mathrm{d}x2y\mathrm{d}y 2ρdρ2xdx2ydy 于是得到 d ρ x ρ d x y ρ d y \mathrm{d}\rho\frac{x}{\rho}\mathrm{d}x\frac{y}{\rho}\mathrm{d}y dρρx​dxρy​dy 于是有 ∂ ρ ∂ x x ρ cos ⁡ φ , ∂ y ∂ ρ y ρ sin ⁡ φ \dfrac{\partial \rho}{\partial x}\frac{x}{\rho}\cos\varphi, \dfrac{\partial y}{\partial \rho}\frac{y}{\rho}\sin\varphi ∂x∂ρ​ρx​cosφ,∂ρ∂y​ρy​sinφ 对第二个式子变换一下 tan ⁡ φ y x \tan\varphi\frac{y}{x} tanφxy​ 然后我们再求全微分 1 cos ⁡ 2 φ d φ − y x 2 d x 1 x d y \frac{1}{\cos^2\varphi}\mathrm{d}\varphi-\frac{y}{x^2}\mathrm{d}x\frac{1}{x}\mathrm{d}y cos2φ1​dφ−x2y​dxx1​dy 于是得到 d φ − y cos ⁡ 2 φ x 2 d x cos ⁡ 2 φ x d y − y ρ 2 d x x ρ 2 d y − sin ⁡ φ ρ d x cos ⁡ φ ρ d y \mathrm{d}\varphi-\frac{y\cos^2\varphi}{x^2}\mathrm{d}x\frac{\cos^2\varphi}{x}\mathrm{d}y-\frac{y}{\rho^2}\mathrm{d}x\frac{x}{\rho^2}\mathrm{d}y-\frac{\sin\varphi}{\rho}\mathrm{d}x\frac{\cos\varphi}{\rho}\mathrm{d}y dφ−x2ycos2φ​dxxcos2φ​dy−ρ2y​dxρ2x​dy−ρsinφ​dxρcosφ​dy 于是有 ∂ φ ∂ x − sin ⁡ φ ρ , ∂ φ ∂ y cos ⁡ φ ρ \frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{-\sin\varphi}{\rho}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\cos\varphi}{\rho} ∂x∂φ​ρ−sinφ​,∂y∂φ​ρcosφ​ ∂ ( ρ , φ ) ∂ ( x , y ) [ ∂ ρ ∂ x ∂ ρ ∂ y ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ] [ cos ⁡ φ sin ⁡ φ − sin ⁡ φ ρ cos ⁡ φ ρ ] \dfrac{\partial(\rho,\varphi)}{\partial(x,y)}\begin{bmatrix} \dfrac{\partial \rho}{\partial x} \dfrac{\partial \rho}{\partial y}\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos\varphi \sin\varphi\ \dfrac{-\sin\varphi}{\rho}\dfrac{\cos\varphi}{\rho} \end{bmatrix} ∂(x,y)∂(ρ,φ)​ ​∂x∂ρ​∂x∂φ​​∂y∂ρ​∂y∂φ​​ ​ ​cosφρ−sinφ​​sinφρcosφ​​ ​ 4.2 求逆 这里刚好是一个二阶方阵所以可以直接对3中的雅克比矩阵求逆 ∂ ( ρ , φ ) ∂ ( x , y ) ( ∂ ( x , y ) ∂ ( ρ , φ ) ) − 1 [ cos ⁡ φ − ρ sin ⁡ φ sin ⁡ φ ρ cos ⁡ φ ] − 1 [ cos ⁡ φ sin ⁡ φ − sin ⁡ φ ρ cos ⁡ φ ρ ] \dfrac{\partial(\rho,\varphi)}{\partial(x,y)}\left(\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\varphi)}\right)^{-1}\begin{bmatrix} \cos\varphi -\rho\sin\varphi\ \sin\varphi \rho\cos\varphi \end{bmatrix}^{-1}{}\begin{bmatrix} \cos\varphi \sin\varphi\ \dfrac{-\sin\varphi}{\rho}\dfrac{\cos\varphi}{\rho} \end{bmatrix} ∂(x,y)∂(ρ,φ)​(∂(ρ,φ)∂(x,y)​)−1[cosφsinφ​−ρsinφρcosφ​]−1 ​cosφρ−sinφ​​sinφρcosφ​​ ​