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哪里有网站制作价格,怎样建立一个网站步骤,新网站seo方法,赣州做公司网站文章目录 1 分块矩阵的定义2 分块矩阵的运算#xff08;性质#xff09;3 按列分块与按行分块 结语 1 分块矩阵的定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵#xff0c;每一个小矩阵称为A的子快#xff0c;以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2 分块矩阵的运算… 文章目录 1 分块矩阵的定义2 分块矩阵的运算性质3 按列分块与按行分块 结语 1 分块矩阵的定义 将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵每一个小矩阵称为A的子快以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。 2 分块矩阵的运算性质 设矩阵A与B的行数相同列数相同采用相同的分块法有 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , B ( B 11 ⋯ B 1 r ⋮ ⋮ B s 1 ⋯ B s r ) A\begin{pmatrix} A{11}\cdotsA{1r}\ \vdots\vdots\ A{s1}\cdotsA{sr} \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} B{11}\cdotsB{1r}\ \vdots\vdots\ B{s1}\cdotsB{sr} \end{pmatrix}\ A ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​,B ​B11​⋮Bs1​​⋯⋯​B1r​⋮Bsr​​ ​ 其中 A i j 与 B i j A{ij}与B{ij} Aij​与Bij​行数相同列数相同那么 A B ( A 11 B 11 ⋯ A 1 r B 1 r ⋮ ⋮ A s 1 B s 1 ⋯ A s r B s r ) AB\begin{pmatrix} A{11}B{11}\cdotsA{1r}B{1r}\ \vdots\vdots\ A{s1}B{s1}\cdotsA{sr}B{sr} \end{pmatrix} AB ​A11​B11​⋮As1​Bs1​​⋯⋯​A1r​B1r​⋮Asr​Bsr​​ ​ 设 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) , λ 为数那么 A\begin{pmatrix} A{11}\cdotsA{1r}\ \vdots\vdots\ A{s1}\cdotsA{sr} \end{pmatrix} ,\lambda为数那么 A ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​,λ为数那么 λ A ( λ A 11 ⋯ λ A 1 r ⋮ ⋮ λ A s 1 ⋯ λ A s r ) \lambda A\begin{pmatrix} \lambda A{11}\cdots\lambda A{1r}\ \vdots\vdots\ \lambda A{s1}\cdots\lambda A{sr} \end{pmatrix} λA ​λA11​⋮λAs1​​⋯⋯​λA1r​⋮λAsr​​ ​ 设A位 m × l m\times l m×l矩阵B位 l × n l\times n l×n矩阵分块成 A ( A 11 ⋯ A 1 t ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s t ) , B ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A t 1 ⋯ A t r ) A\begin{pmatrix} A{11}\cdotsA{1t}\ \vdots\vdots\ A{s1}\cdotsA{st} \end{pmatrix} ,B\begin{pmatrix} A{11}\cdotsA{1r}\ \vdots\vdots\ A{t1}\cdotsA{tr} \end{pmatrix} A ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1t​⋮Ast​​ ​,B ​A11​⋮At1​​⋯⋯​A1r​⋮Atr​​ ​ 其中 A i 1 , A i 2 , ⋯ , A i t A{i1},A{i2},\cdots,A{it} Ai1​,Ai2​,⋯,Ait​的列数分别等于 B 1 j , B 2 j , ⋯ , B t j B{1j},B{2j},\cdots,B{tj} B1j​,B2j​,⋯,Btj​的行数那么 A B ( C 11 ⋯ C 1 r ⋮ ⋮ C s 1 ⋯ C s r ) AB\begin{pmatrix} C{11}\cdotsC{1r}\ \vdots\vdots\ C{s1}\cdotsC{sr} \end{pmatrix} AB ​C11​⋮Cs1​​⋯⋯​C1r​⋮Csr​​ ​ 其中 C i j ∑ k 1 t A i k B k j ( i 1 , ⋯ , s ; j 1 , ⋯ , r ) C{ij}\sum{k1}^tA{ik}B{kj}(i1,\cdots,s;j1,\cdots,r) Cij​k1∑t​Aik​Bkj​(i1,⋯,s;j1,⋯,r) 设 A ( A 11 ⋯ A 1 r ⋮ ⋮ A s 1 ⋯ A s r ) 则 A T ( A 11 T ⋯ A s 1 T ⋮ ⋮ A 1 r T ⋯ A s r T ) A\begin{pmatrix} A{11}\cdotsA{1r}\ \vdots\vdots\ A{s1}\cdotsA{sr} \end{pmatrix} 则A^T\begin{pmatrix} A{11}^T\cdotsA{s1}^T\ \vdots\vdots\ A{1r}^T\cdotsA{sr}^T \end{pmatrix} A ​A11​⋮As1​​⋯⋯​A1r​⋮Asr​​ ​则AT ​A11T​⋮A1rT​​⋯⋯​As1T​⋮AsrT​​ ​ 设A为n阶方阵若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块其余子块都为零矩阵且在对角线上的子块都是方阵即 A ( A 1 O A 2 ⋱ O A s ) A\begin{pmatrix} A_{1}O\ A_2\ \ddots\ OA_s \end{pmatrix} A ​A1​O​A2​​⋱​OAs​​ ​ 其中 A i ( i 1 , 2 , ⋯ , s ) A_i(i1,2,\cdots,s) Ai​(i1,2,⋯,s)都方阵那么称A为分块对角矩阵。 分块对角矩阵的行列式有以下性质 ∣ A ∣ ∣ A 1 ∣ ∣ A 2 ∣ ⋯ ∣ A s ∣ |A||A_1||A_2|\cdots |A_s| ∣A∣∣A1​∣∣A2​∣⋯∣As​∣ 由此性质可知若 ∣ A i ∣ ̸ 0 i i , 2 , ⋯ , s ) |Ai|\not0ii,2,\cdots,s) ∣Ai​∣0ii,2,⋯,s)则 ∣ A ∣ ̸ 0 |A|\not0 ∣A∣0并有 A − 1 ( A 1 − 1 O A 2 − 1 ⋱ O A s − 1 ) A^{-1}\begin{pmatrix} A{1}^{-1}O\ A_2^{-1}\ \ddots\ OA_s^{-1} \end{pmatrix} A−1 ​A1−1​O​A2−1​​⋱​OAs−1​​ ​ 例18 设 A ( 5 0 0 0 3 1 0 2 1 ) 求 A − 1 A\begin{pmatrix} 500\ 031\ 021 \end{pmatrix} 求A^{-1} A ​500​032​011​ ​求A−1 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \vline at position 24: …gin{pmatrix} 5\̲v̲l̲i̲n̲e̲00\ \hdashlin…
3 按列分块与按行分块 m × n m\times n m×n矩阵A有n列称为矩阵A的n个列向量若第j列记作 a j ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) aj\begin{pmatrix} a{1j}\ a{2j}\ \vdots\ a{mj} \end{pmatrix} aj​ ​a1j​a2j​⋮amj​​ ​ 则A可按列分块位 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) A(a_1,a_2,\cdots,a_n) A(a1​,a2​,⋯,an​) m × n m\times n m×n矩阵A有m行称为矩阵A的m个行向量若第 i i i行记作 α i T ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i n ) \alphai^T(a{i1},a{i2},\cdots,a{in}) αiT​(ai1​,ai2​,⋯,ain​) 则A可按行分开为 A ( α 1 T α 2 T ⋮ α m T ) A\begin{pmatrix} \alpha_1^T\ \alpha_2^T\ \vdots\ \alpham^T \end{pmatrix} A ​α1T​α2T​⋮αmT​​ ​ 对于矩阵 A ( a i j ) m × s A(a{ij}){m\times s} A(aij​)m×s​与矩阵 B ( b i j ) s × n B(b{ij}){s\times n} B(bij​)s×n​的乘积矩阵 A B C ( c i j ) m × n ABC(c{ij})_{m\times n} ABC(cij​)m×n​若把A按行分成m快把B案列分成n快便有 A B ( α 1 T α 2 T ⋮ α m T ) ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ( α 1 T b 1 α 1 T b 2 ⋯ α 1 T b n α 2 T b 1 α 2 T b 2 ⋯ α 2 T b n ⋮ ⋮ ⋮ α m T b 1 α m T b 2 ⋯ α m T b n ) AB\begin{pmatrix} \alpha_1^T\ \alpha_2^T\ \vdots\ \alpha_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1,b_2,\cdots,b_n\ \end{pmatrix}\ \begin{pmatrix} \alpha_1^Tb_1\alpha_1^Tb_2\cdots\alpha_1^Tb_n\ \alpha_2^Tb_1\alpha_2^Tb_2\cdots\alpha_2^Tb_n\ \vdots\vdots\vdots\ \alpha_m^Tb_1\alpha_m^Tb_2\cdots\alpha_m^Tbn\ \end{pmatrix} AB ​α1T​α2T​⋮αmT​​ ​(b1​,b2​,⋯,bn​​) ​α1T​b1​α2T​b1​⋮αmT​b1​​α1T​b2​α2T​b2​⋮αmT​b2​​⋯⋯⋯​α1T​bn​α2T​bn​⋮αmT​bn​​ ​ 其中 c i j α i T b j ( a i 1 , a i 2 , ⋯ , a i s ) ( b 1 j b 2 j ⋮ b s j ) ∑ k 1 s a i k b k j c{ij}\alpha_i^Tbj(a{i1},a{i2},\cdots,a{is}) \begin{pmatrix} b{1j}\ b{2j}\ \vdots\ b{sj} \end{pmatrix} \sum{k1}^sa{ik}b{kj} cij​αiT​bj​(ai1​,ai2​,⋯,ais​) ​b1j​b2j​⋮bsj​​ ​k1∑s​aik​bkj​ 例19 证明矩阵 A O AO AO的充分必要条件是方阵 A T A O A^TAO ATAO 证明条件的必要性是显然的 充分性 设 A ( a i j ) m × n 把 A 按列分块位 A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) 则 A T A ( a 1 T a 2 T ⋮ a n T ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( a 1 T a 1 a 1 T a 2 ⋯ a 1 T a n a 2 T a 1 a 2 T a 2 ⋯ a 2 T a n ⋮ ⋮ ⋮ a n T a 1 a n T a 2 ⋯ a n T a n ) 即 A T A 的 ( i , j ) 元为 a i T a j 因 A T A O 故 a i T a j 0 ( i , j 1 , 2 , ⋯ , n ) 特殊的有 a j T a j 0 ( j 1 , 2 , ⋯ , n ) 而 a j T a j ( a 1 j , a 2 j , ⋯ , a m j ) ( a 1 j a 2 j ⋮ a m j ) a 1 j 2 a 2 j 2 ⋯ a m j 2 0 , 得 a 1 j a 2 j ⋯ a m j 0 即 A O 证明条件的必要性是显然的\ 充分性\ 设A(a{ij}){m\times n}把A按列分块位A(a_1,a_2,\cdots,a_n)则\ A^TA\begin{pmatrix} a_1^T\ a_2^T\ \vdots\ a_n^T \end{pmatrix} (a_1,a_2,\cdots,a_n)\ \begin{pmatrix} a_1^Ta_1a_1^Ta_2\cdotsa_1^Ta_n\ a_2^Ta_1a_2^Ta_2\cdotsa_2^Ta_n\ \vdots\vdots\vdots\ a_n^Ta_1a_n^Ta_2\cdotsa_n^Ta_n\ \end{pmatrix}\ 即A^TA的(i,j)元为a_i^Ta_j 因A^TAO故\ a_i^Ta_j0(i,j1,2,\cdots,n) 特殊的有\ a_j^Ta_j0(j1,2,\cdots,n)\ 而 a_j^Taj(a{1j},a{2j},\cdots,a{mj}) \begin{pmatrix} a{1j}\ a{2j}\ \vdots\ a{mj} \end{pmatrix} a{1j}^2a{2j}^2\cdotsa{mj}^20,得\ a{1j}a{2j}\cdotsa{mj}0\ 即 AO 证明条件的必要性是显然的充分性设A(aij​)m×n​把A按列分块位A(a1​,a2​,⋯,an​)则ATA ​a1T​a2T​⋮anT​​ ​(a1​,a2​,⋯,an​) ​a1T​a1​a2T​a1​⋮anT​a1​​a1T​a2​a2T​a2​⋮anT​a2​​⋯⋯⋯​a1T​an​a2T​an​⋮anT​an​​ ​即ATA的(i,j)元为aiT​aj​因ATAO故aiT​aj​0(i,j1,2,⋯,n)特殊的有ajT​aj​0(j1,2,⋯,n)而ajT​aj​(a1j​,a2j​,⋯,amj​) ​a1j​a2j​⋮amj​​ ​a1j2​a2j2​⋯amj2​0,得a1j​a2j​⋯amj​0即AO 线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 ⋯ a 1 n x n b 1 , a 21 x 1 a 22 x 2 ⋯ a 2 n x n b 2 , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x 1 a m 2 x 2 ⋯ a m n x n b m , \begin{cases} a{11}x1a{12}x2\cdotsa{1n}x_nb1,\ a{21}x1a{22}x2\cdotsa{2n}x_nb2,\ \cdots\cdots\cdots\cdots\ a{m1}x1a{m2}x2\cdotsa{mn}x_nbm,\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​a12​x2​⋯a1n​xn​b1​,a21​x1​a22​x2​⋯a2n​xn​b2​,⋯⋯⋯⋯am1​x1​am2​x2​⋯amn​xn​bm​,​ 它的矩阵乘积形式为 A m × n x n × 1 b m × 1 A{m\times n}x{n\times 1}b{m\times 1} Am×n​xn×1​bm×1​ 上式中把A案列分块把x按行分块有分块矩阵的乘法有 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( x 1 , x 2 , ⋮ x n ) b , 即 x 1 a 1 x 2 a 2 ⋯ x n a n b (a_1,a_2,\cdots,a_n) \begin{pmatrix} x_1,\ x_2,\ \vdots\ x_n \end{pmatrix} b,即\ x_1a_1x_2a_2\cdotsx_nanb (a1​,a2​,⋯,an​) ​x1​,x2​,⋮xn​​ ​b,即x1​a1​x2​a2​⋯xn​an​b 其实方程组表成 ( a 11 a 21 ⋮ a m 1 ) x 1 ( a 12 a 22 ⋮ a m 2 ) x 2 ⋯ ( a 1 n a 2 n ⋮ a m n ) x n ( b 1 b 2 ⋮ b m ) \begin{pmatrix} a{11}\ a{21}\ \vdots\ a{m1} \end{pmatrix}x1 \begin{pmatrix} a{12}\ a{22}\ \vdots\ a{m2} \end{pmatrix}x2 \cdots \begin{pmatrix} a{1n}\ a{2n}\ \vdots\ a{mn} \end{pmatrix}x_n \begin{pmatrix} b_1\ b_2\ \vdots\ b_m \end{pmatrix} ​a11​a21​⋮am1​​ ​x1​ ​a12​a22​⋮am2​​ ​x2​⋯ ​a1n​a2n​⋮amn​​ ​xn​ ​b1​b2​⋮bm​​ ​ 结语 ❓QQ:806797785 ⭐️文档笔记地址 https://github.com/gaogzhen/math 参考 [1]同济大学数学系.工程数学.线性代数 第6版 [M].北京:高等教育出版社,2014.6.p46-52. [2]同济六版《线性代数》全程教学视频[CP/OL].2020-02-07.p12.